Составление математической модели.

Решение практических задач тесно связано с тремя  основными этапами:

• Составление экономико-математической модели.
• Определение оптимального решения математическими методами.
• Логический и экономический анализ полученного решения.

     На  первом этапе определяется цель исследования, выявленные основные ограничения и  осуществляется количественное выражение  всех данных задачи.

     Цель  характеризуется выбором критерия, по которому сравниваются различные  варианты решения (наибольшая прибыль, наименьшие издержки, максимальная загруженность оборудования, достижение определенного результата в оптимальное время, наименьшие отходы производства).

     Постановка  задачи ЛП характеризуется наличием ограниченных ресурсов, которыми необходимо распорядиться наилучшим образом. Важно выбрать те ресурсы, которые являются здесь решающими, лимитирующими. К ресурсам относятся: запасы сырья, электричество, топливо, трудовые ресурсы, ресурсы оборудования, посевная площадь и т.д. Кроме того, в систему ограничений могут входить дополнительные условия: условие комплектности, ассортиментные соотношения, плановые задания по выпуску продукции и т.п.

     Все ограничения должны быть по возможности  непротиворечивы, т.е. обеспечивающими  существование хотя бы одного решения. Неучет какого-либо ограничения часто приводит к практической неосуществимости найденного оптимального плана. И наоборот, слишком жесткие ограничения могут сузить область допустимых решений и не дадут выявить оптимального.

     Количественное  выражение данных является необходимым условием применения математических методов, равно как и существование количественной оценки, позволяющей сопоставить различные варианты решения. Сказанное означает, что такие характеристики результатов процесса, как «лучше», «хуже» должны быть заменены математическими > и < в сопоставлении с установленной числовой шкалой.

     О выборе критерия:

     Единого критерия в задаче быть не может, как  не может быть универсального показателя оценки работы экономического объекта, однако в каждый момент деятельности может быть выбран тот критерий, который представляется наиболее существенным.

     Типичный  пример задачи с двумя критериями:

     Человек выходит на работу. Есть разные пути добраться до работы, в том числе  и комбинированные. Первый критерий – среднее ожидаемое время (Т) опоздания желательно сделать минимальным. Второй критерий – стоимость проезда (С) тоже надо сделать минимальной. Подсознательно человек пользуется чем-то в виде обобщенного показателя. W = a₁×T+a₂×C, где а₁,а₂ – весовые коэффициенты, основная беда которых в том, что они не постоянные. Они зависят в данном случае от самих Т и С и от обстановки.

     Можно произвольно выбрать а₁,а₂ , но и решение при этом тоже будет произвольным. И главная ошибка при моделировании – это перенос произвола из одной инстанции в другую.

     Приемы  математического  моделирование задач  ЛП

     Задача  о производстве велосипедов  и мотоциклов

     Завод производит два вида продукции: велосипеды и мотоциклы. При этом цех по сборке велосипедов имеет производительность 100 тыс. штук в год, а цех по производству мотоциклов – 30 тыс. штук в год.

     Одна  группа механических цехов может  производить детали либо для 120 тыс. велосипедов, либо для 40 тыс. мотоциклов, либо любую комбинацию деталей, ограниченную этими данными. Вторая группа цехов  может производить детали либо для 80 тыс. велосипедов, либо для 60 тыс. мотоциклов, либо любую комбинацию.

      В результате производства прибыль  за каждую тысячу штук велосипедов  – 2 млн. руб., а за каждую тысячу мотоциклов – 3 млн. руб.

     Анализ  возможностей механических цехов показывает: при выпуске обоих видов продукции  должно соблюдаться условие пропорциональности количества продукции данного вида доле производственной мощности, отводимой  под ее выпуск. Если предусмотреть, например, производство 1000 велосипедов, то доля производственной мощности первой группы цехов должна быть 1/120 и т.п.

     I: 1/120× х₁ + 1/40× х₂ £1 (за единицу принята мощность первой группы механических цехов)

     II: 1/80× х₁ + 1/60× х₂ £1 (за единицу принята мощность второй группы механических цехов)

     При этом х₁ ³ 0, х₂ ³ 0.

     MAX (2млн.× х₁ + 3млн.× х₂)

     Получена  задача ЛП с двусторонними ограничениями  на переменную – задача отыскания  максимума линейной формы при  линейных ограничениях типа «£».

     Задача о строительстве домов

     Для строительства домов на 100 строительных площадках выбраны 5 типовых проектов. По каждому из проектов известны: длительность закладки фундамента и длительность остального строительства, а также  жилая площадь дома. Параллельно  можно вести закладку 10 фундаментов и 15 домов.

     Числовые  данные сведены в таблицу. Требуется  составить план строительства с  максимальной жилой площадью  в  течение года (300 дней) при условии, что домов типа 2 должно быть построено  не менее 10.

Всего рабочих дней может быть отведено на закладку фундаментов 300×10=3000 раб. дней. Для остальных работ 300×15=4500 дней.

      
Х₁ + Х₂ + Х₃ +  Х₄ + Х₅ =100

20×x₁ + 30×x₂ + 35×x₃ + 30×x₄ + 40×x₅ £3000

40×x₁ + 20×x₂ + 60×x₃ + 35×x₄ + 25×x₅ £4500

x₂ ³10

MAX(3×x₁ + 2×x₂ + 5×x₃ + 4×x₄ + 6×x₅)

     Задача  о линейном раскрое

     Полосы  листового проката длиной 200 см необходимо разрезать на заготовки трех типов  А, Б, В длиной соответственно 57, 82 и 101 см каждая для 50 изделий. На каждое изделие требуется по 4 заготовки А и Б и 5 заготовок типа В. Можно указать 5 способов раскроя одной полосы.

     Пусть x_j – количество полос, раскраиваемых j-м способом (j от 1 до 5).

     Для 50 изделий понадобится:

     50х4  заготовок типа А = 200

     50х4  заготовок типа Б = 200

     50х5  заготовок типа В = 250

     Если  использовать все способы раскроя, то количество заготовок типа А при  условии, что первым способом раскроено х₁ полос, вторым – х₂ полос, третьим – х₃ и т.д., можно выразить суммы:

     А: 3×x₁ + 2×x₂ + 1×x₃ + 0×x₄ + 0×x₅ = 200

     Б: 0×x₁ + 1×x₂ + 0×x₃ + 2×x₄ + 1×x₅ = 200

     В: 0×x₁ + 0×x₂ + 1×x₃ + 0×x₄ + 1×x₅ = 250

      Требуется минимизировать целевую функцию, выражающую суммарное количество отходов. Подсчитаем сначала величины отходов при раскрое одной полосы по каждому из способов.