При норме доходности r имеем:

• в первый год: ,
• во второй год:  и т. д.

      Таким образом, общая формула для начисления сложных процентов имеет следующий вид

                                                            

.                                                        (4.7)

      Настоящее (современное) значение стоимости определенной будущей суммы денег вычисляется с помощью формулы 

                                                              

.                                                               (4.8) 

  Если  процентная ставка изменяется в различные  периоды времени, т.е. 

  В этом случае формулы (4.7) и (4.8) обобщаются следующим образом:

  

 или

                                                           

.                                                      (4.7')

                                                           

.                                                          (4.8')

      Рассмотрим  соотношение между показателями наращения для простых и сложных  процентов.  С помощью простых алгебраических рассуждений нетрудно установить,

• если n < 1 года, то  , инвестировать при простых процентах более выгодно,
• если n ³ 1 года, то  , то предпочтительней для инвестора является схема сложных процентов.

 

      Пусть проценты начисляются т раз в году, тогда процентная ставка в пересчете на период будет равна r/m, а количество периодов будет равным nm. В соответствии с исходной формулой (4.3) в этом случае наращение будет производиться с помощью следующего соотношения:

                                                            

.                                                      (4.9)

  Формула для вычисления настоящей стоимости  также принимает следующий обобщенный вид:

                                                          

.                                                   (4.10) 

      Пример. Что более выгодно при вложении денег на 2 года:  процентная ставка 40% годовых при начислении процентов 2 раза в год, либо ставка 38% годовых, начисляемых 12 раз в год?

      Рассчитаем  показатель наращения с помощью  формулы (4.9):

       ,

  

.

Очевидно, что второй вариант предпочтительней.

      Для сравнения эффективности вложения денег при различном количестве начислений процентов в году вводят понятие эффективной процентной ставки: это процентная ставка такого вложения денег, при котором начисление процентов происходит только 1 раз в конце года и это равносильно по конечному результату конкретной схемы начисления процентов, для которой определяется эффективная процентная ставка.

      По  определению эффективной процентной ставки имеем одну и ту же величину будущего значения денег, полученных

• при начислении процентов m раз в году при номинальной процентной ставке r,

  

 и

• при начислении процентов один раз в году при процентной ставке r_э:

.

  Следовательно

  

,

  откуда  легко следует

                                                               

.                                                       (4.11)

  Влияние числа начислений процентов на эффективность  инвестирования денег при неизменной годовой процентной ставке иллюстрируется ниже. 

 

      Наращение и дисконтирование производится с использованием учетной ставки по схеме сложных процентов производится аналогично, но расчетные формулы отличаются. С помощью простых рассуждений можно доказать, что

                                                                

.                                                      (4.12)

  Если  начисление процентов производится т раз в году, то формула (12) будет иметь вид

                                                             

  .                                                 (4.12')

  Формулы для наращения при использовании  учетной ставки легко получаются из формул дисконтирования путем простого обращения последних:

 

                                                 

,                                                      (4.13) 

                                                            

.                                                       (4.13') 

      Пример. Вексель на 500 тыс. грн. учитывается банком по учетной ставке 15% при начислении процентов 12 раз в году. Вексель учитывается за 8 месяцев до погашения. Необходимо определить величину дисконта.

      Воспользовавшись  формулой (4.12') получим

  

.

Следовательно, дисконт составляет   500000 – 452130 = 47870 грн.

  4.3.3. Влияние  инфляции на процентную ставку

 

  Инфляция  характеризуется двумя параметрами:

• τ – темп инфляции (в процентах или долях единиц) – это процентное увеличение некоторой усредненной цены (например, цены потребительской корзины): 
• Ι – индекс инфляции:  Ι = 1+ τ .

Обычно  и темп, и индекс инфляции привязывают  к конкретному промежутку времени. Так что

  

  где - объем i-го ресурса;

        - цена единицы i-го ресурса в начале периода, 

       - цена единицы i-го ресурса в конце периода, 

      Проанализируем  влияние темпа инфляции на ставку доходности с помощью следующего простого примера.  Пусть инвестор вкладывает 1000 грн. в некоторый финансовый инструмент, который приносит ему доходность при ставке r_p = 20% годовых, и это есть реальная доходность, т.е. доходность в предположении, что цены не изменяются и темп инфляции равен 0. В этом случае инвестор через год должен получить

  

  грн.

      Если  темп инфляции в течение года составляет 30%, то наращенная сумма денег корректируется с учетом инфляции следующим образом:

  

 грн. 

      В общем случае мы имеем следующее  приращение инвестированной суммы 1000 грн.

  

 грн. ,

или, в общем  случае,

  

.

      Экономический смысл такого пересчета: корректировке на инфляцию подвергается не только основная сумма денег, но и процентный доход инвестора, т.е.

                                                     

.                                       (4.16)

  Окончательно, для нормы доходности используется следующая формула

                                                       ,                                                (4.17)

  где IP – инфляционная премия.

      Пример. Инвестору обещано 40% доходности на 1000 грн., которые он вкладывает. При этом ожидаемый темп инфляции составляет 20%. Определить уровень реальной доходности этой инвестиции.

  Используя формулу (4.17) получим

  

 

  По  причине инфляции вводятся два понятия:

1. Номинальная стоимость денег FV_н – объем денежной массы, которая будет получена инвестором в будущем через определенный срок при условии, что норма доходности по контракту составляет r.

                                                                                                                (4.18)

2. Реальная стоимость денег FV_p – это величина денежной массы, которая была бы получена инвестором в предположении, что цены не изменяются, и темп инфляции равен 0. Для расчета реальной стоимости денег производится следующая корректировка 

  

  В результате, окончательно получим:    

                                                         

.                                                   (4.19)

      Пример. Инвестору предложено вложить 200000 грн. на 2 года при норме доходности 40%, ожидаемый темп инфляции составляет 30%. Какова оценка реальной стоимости ожидаемого дохода инвестора?

  

  Следовательно, доход составит 31952,66 грн.

  Пусть вопреки ожиданию годовой темп инфляции составил 45%. Тогда, реальная сумма денег инвестора станет равной

  

  Таким образом, инвестор получит убытки в  размере 13556 грн.

  Отсюда  можно сделать вывод, что инфляция «съела» не только доход, но и основную сумму.

  В общем случае возможны 3 исхода:

1. r > τ (т.е. норма доходности больше темпа инфляции) – естественный путь инвестирования денег, деньги приносят доход, несмотря на инфляцию.
2. r = τ -инфляция «съедает» только доход; инвестировать бессмысленно, лучше вложить деньги в реальные активы, которые сохраняют свою стоимость.
3. r  <  τ – инфляция «съедает» и доход и основной капитал, необходимо вкладывать деньги в недвижимость.

      Рассмотрим  более сложный пример, когда темп инфляции не является постоянным из года в год. Пусть инвестор вкладывает деньги на 2 года при норме доходности 10%. Ожидаемый темп инфляции в первый год 15%, во второй год 20%. Определить номинальный доход инвестора от этого вложения.

  

,

  

  или, по другому,

  

.

  Таким образом, доход инвестора составил 669,8 грн.

  4.3.4. Наращение  и дисконтирование потоков денежных  сумм