Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

Содержание работы:

• Изучить метод простых итераций и метод Ньютона для решения
• систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений указанными методами на ЭВМ.

3. Составить программу на любом языке программирования и с ее

помощью решить систему уравнений с точностью 

4. Составить отчет о  проделанной работе.

 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. 
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

Задание на лабораторную работу. 

2. Построить рабочие формулы по методу простых итераций и  методу Ньютона, 

1. Решить аналитически систему нелинейных уравнений второго порядка: 

для численного решения системы (1) при начальном приближении 

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую

построенные итерационные процессы.

 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. 
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

ТЕОРИЯ 

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ

Вид, допускающий сходящиеся итерации: 

где: 

Достаточные условия сходимости:

 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. 
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

ТЕОРИЯ 

СЛАУ для определения неизвестных 

Условия окончания процесса (3):

 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. 
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

ТЕОРИЯ 

где 

Условия окончания процесса (5): 

МЕТОД НЬЮТОНА 

Итерационная формула: 

(5)

 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. 
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

Пример выполнения лабораторной работы. 

1. Аналитическое решение СНУ (1):  (2,3) и (3,2). 

МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ 

2. Найдем частные производные и  вычислим их при начальном приближении (2): 

3. Решим СЛАУ (4)  относительно неизвестных

 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. 
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

Пример выполнения лабораторной работы. 

4. Получим: 

5. Итерационные формулы (3): 

МЕТОД НЬЮТОНА

6. Матрица частных производных:

 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. 
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

Пример выполнения лабораторной работы. 

8. Обратная матрица: 

7. Определитель матрицы: 

9. Итерационные формулы (5):

 
 
 
 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4. 
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

Блок-схема итерационных методов решения систем нелинейных уравнений. 

1. Задать параметры метода:  

2. Вычислить очередное приближение: 

3. Проверить условия окончания процесса: 

4. Обновить начальное приближение 

нет 

да 

5. Распечатать приближенное значение решения 

6. Останов