В вычислительной математике нередки случаи, когда одну функцию приходится заменять другой, более простой и удобной для дальнейшей работы. Такую задачу называют аппроксимацией функции.

Поводом для аппроксимации функции может послужить, в частности, табличный способ ее задания. Предположим, что в результате некоторого эксперимента для конечного набора значений величины из отрезка

получен набор значений величины . Если допустить, что между и существует функциональная зависимость , можно поставить вопрос о поиске аналитического представления функции .

Повод для аппроксимации может возникнуть даже тогда, когда аналитическое выражение некоторой функции имеется, однако оно оказывается мало пригодным для решения поставленной задачи, потому что операция, которую требуется осуществить над этой функцией, трудновыполнима или невыполнима совсем. Например, вычисление значения трансцендентной функции «вручную». Действительно, чтобы вычислить , проще всего воспользоваться степенным разложением функции, т.е. заменить трансцендентную функцию степенным рядом. При этом получается приближенное значение функции.

Другая ситуация, когда может потребоваться аппроксимация аналитически заданной функции – дифференцирование функции, вычисление определенных и неопределенных интегралов. Если аналитическое выражение функции достаточно сложное, то поставленная задача трудно выполнима, а иногда и невыполнима с помощью элементарных приемов. Например, интеграл существует, но по формуле Ньютона-Лейбница практически вычислен быть не может, т.к. первообразная не выражается в элементарных функциях. Аппроксимация подынтегральной функции – один из возможных приемов.

Классический подход к численному решению подобных задач заключается в том, чтобы, опираясь на информацию о функции , по некоторому алгоритму подобрать аппроксимирующую функцию , в определенном смысле «близкую» к .

Для оценки «близости» функций выбирают тот или иной критерий согласия. Эти критерии основаны на использовании той или иной метрики, т.е. способа введения расстояния между функциями, принадлежащими тому или иному классу: . Например, для функций, ограниченных на отрезке , расстояние может быть введено следующим образом: ; для функций, непрерывных на отрезке , по формуле .

Часто процедура аппроксимации связана с другим критерием согласия:

.

Применяемый на его основе способ аппроксимации получил название метода наименьших квадратов.

Для функций, заданных таблично, достаточно распространенным критерием согласия является критерий Чебышева, который определяет расстояние между аппроксимируемой и аппроксимирующей функциями как максимум величины отклонения между этими функциями в узлах сетки:

.

Если , т.е. , то соответствующий способ аппроксимации называют интерполяцией, а процедуру вычисления значений с помощью в точках, не являющихся узлами сетки, - интерполированием.

Задача интерполирования состоит в следующем.

На отрезке заданы точки , которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции в этих точках:

. (5.1)

Необходимо построить функцию - интерполирующую функцию, принадлежащую некоторому классу и принимающую в узлах интерполяции заданные значения (5.1), т.е.

. (5.2)

Геометрически это означает, что нужно найти кривую определенного типа, проходящую через заданные точки .

В такой общей постановке задача может иметь бесконечное множество решений или совсем их не иметь.

Сформулированная задача становится однозначной, если вместо произвольной функции искать полином степени не выше , удовлетворяющий условиям (5.2), т.е.

.

Полученную интерполяционную функцию используют для приближенного вычисления значений данной функции в точках, отличных от узлов интерполяции. Такая операция называется интерполированием функции.

Различают интерполирование в узком смысле, т.е. когда , и экстраполирование, т.е. когда . В дальнейшем, под термином интерполирование будет пониматься как первая, так и вторая операции.

§5.2. Конечные разности. Обобщенная степень.

Пусть задана функция . Обозначим через фиксированную величину приращения аргумента (шаг). Тогда выражение

(5.3)

называется первой конечной разностью функции . Аналогично определяются конечные разности высших порядков

Например:

(5.4)

Символ (дельта) можно рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции функцию .

Легко проверить основные свойства оператора :

1) ;

2) ;

3) , где (целые неотрицательные числа), причем .

Из формулы (5.3) имеем:

.

Отсюда, рассматривая как символический множитель, получим:

. (5.5)

Из формулы (5.4):

; (5.6)

и т.д. Окончательно получим:

. (5.7)

В дальнейшем нам понадобится понятие обобщенной степени.

Определение.

Обобщенной -степенью числа называется произведение сомножителей, первый из которых равен , а каждый следующий на меньше предыдущего:

, (5.8)

где .

Полагают, что . При обобщенная степень совпадает с обычной: .

Вычислим конечные разности для обобщенной степени, полагая . Для первой конечной разности имеем:

то есть

. (5.9)

Для второй конечной разности:

,

то есть

. (5.10)

Аналогично,

,

и так далее.

Окончательно будем иметь:

, (5.11)

, если . (5.12)

§5.3. Первая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной , где - шаг интерполяции. Требуется подобрать полином степени не выше , принимающий в точках значения

. (5.13)

Условия (5.13) эквивалентны тому, что

. (5.14)

Будем искать полином в виде

. (5.15)

Используя понятие обобщенной степени, запишем выражение (5.15) в виде:

. (5.16)

Чтобы полином был определен, нужно найти коэффициенты . Полагая в выражении (5.16), получим

. (5.17)

Чтобы найти коэффициент , составим первую конечную разность:

.

Полагая , получим:

,

откуда

. (5.18)

Для определения коэффициента составим вторую конечную разность:

.

Положив , получим:

,

откуда

. (5.19)

Продолжая процесс, получим:

, (5.20)

причем .

Подставляя найденные значения коэффициентов в выражение (5.16), получим интерполяционный полином Ньютона:

. (5.21)

Этот полином полностью удовлетворяет требованиям поставленной задачи. Действительно, степень полинома не выше ; ;

Для практического использования первую интерполяционную формулу Ньютона записывают в несколько преобразованном виде. Для этого введем новую переменную

. (5.22)

Тогда

(5.23)

Подставляя (5.23) в (5.21), получим окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона:

. (5.24)

Если в формуле (5.24) положить , то получим формулу линейного интерполирования:

. (5.25)

При получим формулу параболического или квадратичного интерполирования:

. (5.26)

Первую интерполяционную формулу Ньютона используют для интерполирования функции в окрестности начальной точки , где мало по абсолютной величине и представляет собой число шагов, необходимых для достижения точки , исходя из точки .

Остаточный член первой интерполяционной формулы Ньютона:

, (5.27)

где - некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования и рассматриваемой точкой .

Учитывая, что , приближенно можно положить:

.

В этом случае соотношение (5.27) примет вид:

. (5.28)

§5.4. Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется для интерполирования в окрестности конечного значения .

Пусть для функции заданы значения для равноотстоящих значений независимой переменной . Построим полином следующего вида: