Введение

      Развитие  новой вычислительной техники привело  к тому, что инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение.

      ЭВМ способна выполнять очень большое, но конечное число операций. По этой причине точные предельные процессы решения задач, связанные с бесконечным числом операций, при работе на ЭВМ должны быть заменены приближенными алгоритмами, содержащими лишь конечное число действий. Кроме того, ЭВМ обладает конечной памятью и может оперировать с числами только конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются, из-за этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.

      Высокая производительность ЭВМ существенным образом изменила подход к оценке того или иного вычислительного метода. Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных. Наиболее ценными становятся методы, которые являются наиболее универсальными и допускают простую реализацию на ЭВМ. Поэтому в последнее время большое распространение получили итерационные, разностные, вариационные, вероятностные и тому подобные методы решения задач, допускающие достаточно простую реализацию на ЭВМ и применимые к широкому кругу инженерных задач.

      При приближенном решении задач необходима оценка погрешности полученного  результата. Приспособление какого-либо метода для работы на ЭВМ, когда используются вычисления с большим числом шагов, выдвинуло специфическую проблему устойчивости вычислительной схемы. Неизбежные погрешности округления могут быстро накапливаться, делая вычислительную схему неустойчивой и непригодной для практики. Допустимо использовать для решения задач только устойчивые вычислительные схемы, когда погрешности округлений взаимно компенсируются и вызываемая ими ошибка результата остается малой для всего процесса вычислений.

      Предметом изучения вычислительной математики являются численные методы решения задач математического анализа: изучение алгоритма метода, условий сходимости итерационных методов и границ применимости методов, исследования оценок погрешностей методов и вычислений. Главным разделом вычислительной математики является реализация численных методов на ЭВМ, т.е. составление программы для требуемого алгоритма и решения конкретной задачи с помощью составленной программы. Поэтому можно сказать: вычислительная математика - это ЭВМ плюс численные методы.

      Любая прикладная задача формируется, исходя из определенного физического смысла некоторого процесса (распределение тепла в стержне, описание траектории движения объектов). Прикладная математическая задача может быть сформулирована, например, из описания некоторой экономической модели (задача распределения ресурсов, задача планирования производства, транспортная задача перевозки грузов, оптимальных в заданном смысле). Следовательно, для постановки любой прикладной задачи нужна математическая модель, поэтому можно выделить следующие этапы решения задач на ЭВМ:

      1) описание математической модели задачи на основе физической или экономической модели;

      2) изучение методов решения поставленной  математической модели задачи и создание новых методов;

      3) выбор метода решения задачи  исходя из заданной точности  решения и особенностей задачи;

      4) составление блок-схемы программы  для решения задачи на ЭВМ;

      5) отладка программы и оценка  полученных результатов. Подстановка решения в уравнение (например, при решении нелинейных уравнений и систем, при решении систем линейных алгебраических уравнений). Решение одной и той же задачи разными методами и решение задачи различными пользователями. Проверка соответствия решения математической и физической модели задачи. В случае несоответствия решений происходит возврат на более ранние этапы решения задачи;

      6) решение задачи на ЭВМ, построение  графиков, получение оценки погрешностей  и обоснование результатов.