ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №5.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ  ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

     Цель  работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Зейделя с помощью ЭВМ.

     Содержание  работы:

     1. Изучить метод простых итераций  и метод Зейделя для решения СЛАУ.

     2. На конкретном примере усвоить  порядок решения СЛАУ с помощью ЭВМ указанными методами.

     3. Составить программу и с ее  помощью решить СЛАУ с точностью  . Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя.

     4. Изменить  и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций.

     5. Решить СЛАУ с точностью ё и , выбрав другие начальные приближения для неизвестных системы. Сделать вывод о том, как выбор начального приближения влияет на скорость сходимости рассматриваемых методов.

     6. Составить отчет о работе.

ПРИМЕР  ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

     Задание.

     1. Аналитически решить СЛАУ вида:

                          (1)

     2. Построить рабочие формулы МПИ  и метода Зейделя для численного решения системы (1).

     3. Составить программу(ы) на любом  языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы.

     Решение.

     1. Аналитическим решением системы являются значения: .

     2. Метод простых итераций. Из системы (1) видно, что модули диагональных коэффициентов в каждом уравнении отличны от нуля и больше суммы модулей всех остальных коэффициентов, не считая столбца свободных членов. Заметим, что если указанные условия не выполняются, то путем элементарных преобразований систему необходимо к этому виду привести.

     Разделив каждое уравнение системы (1) на соответствующий диагональный коэффициент, сформируем столбец в левой части и перенесем остальные слагаемые в правую часть и получим рабочие формулы МПИ вида:

                     (2)

     Начальное приближение обычно выбирают равным столбцу свободных членов преобразованной системы . Процесс (2) заканчивается при одновременном выполнении трех условий:

          , , .

     В этом случае значения являются приближенными значениями решения СЛАУ (1).

     Метод Зейделя. Более быструю скорость сходимости имеет метод Зейделя, в котором найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.1).

     Рабочие формулы метода Зейделя запишутся так:

                     (3)

     Условия выхода итерационного процесса (3) и  выбор начального приближения аналогичны МПИ.

      3. Блок-схема  метода простых итераций и  метода Зейделя приведена на  рисунке 2. 

     Решение: в результате решения СЛАУ (1) методом простых итераций с точностью получено решение , методом Зейделя с той же точностью .

     4. Содержание отчета.

      Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг(и) программ(ы); таблицы результатов (в случае, если число итераций в таблице достаточно большое, в отчет занести две первых и две последних итерации); выводы о проделанной работе.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

     1. Определить аналитическое решение  исходной СЛАУ.

     2. Если исходная СЛАУ не является  системой с преобладающими диагональными коэффициентами, то путем элементарных преобразований привести ее к этому виду.

     3. Построить итерационные формулы,  реализующие процесс поиска решения  СЛАУ методом простых итераций и методом Зейделя.

     4. Составить программу(ы) на любом  языке программирования, реализующую(ие) построенные итерационные процессы, используя приведенный на рисунке 2 алгоритм методов. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:

     5. Провести вычислительные эксперименты.

     6. Составить отчет о проделанной работе. 

ВАРИАНТЫ  ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ