ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №8.

Приближенное  решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

 

     Цель  работы: научиться решать обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) методами Эйлера и Рунге-Кутта с помощью ЭВМ.

     Содержание  работы:

     1. Изучить методы Эйлера и Рунге-Кутта для приближенного решения ОДУ.

     2. На конкретном примере усвоить  порядок решения ОДУ указанными методами с помощью ЭВМ.

     3. Составить программу на любом  языке программирования, реализующую процесс приближенного решения ОДУ указанными методами.

     4. Сделать вывод о точности используемых методов.

     5. Составить отчет о проделанной  работе. 

ПРИМЕР  ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 

     Задание.

     1. Аналитически решить задачу Коши  вида:

                          (1)

                          (2)

     2. Записать рабочие формулы метода Эйлера и метода Рунге-Кутта 4 порядка точности для численного решения системы (1) при начальном условии (2) на отрезке

                             . (3)

     3. Составить программу на любом  языке программирования, реализующую построенные процессы. 

     Решение.

     1. ОДУ (1) является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Его аналитическим решением являются интегральные кривые вида , где постоянная определяется из начального условия (2) и равна . Таким образом, решением задачи Коши (1)-(2) является интегральная кривая .

     2. Для построения рабочих формул  методов Эйлера и Рунге-Кутта  4 порядка точности разделим отрезок (3) на равных частей и сформируем систему равноотстоящих точек , , где , , шаг интегрирования .

     Рабочая формула метода Эйлера в общем  случае имеет вид:

                        .

     Для поставленной задачи данная формула  запишется так:

                         (4)

     Для вычислений по методу Рунге-Кутта 4 порядка  необходимо предварительно вычислить 4 коэффициента:

                       

а рабочая  формула имеет вид:

             .  (5)

     Для рассматриваемого примера коэффициенты запишутся так:

               .  (6)

      Итерационные  процессы, заданные формулами (4), (5) и (6), можно начать, задав начальное условие (2). Процессы заканчиваются при достижении конца отрезка (3). В этом случае построенные интегральные кривые являются приближенными решениями задачи Коши (1)-(2) на отрезке (3) рассматриваемыми методами.

      3. Блок-схема построения приближенного  решения задачи Коши методами Эйлера и Рунге-Кутта приведена на рисунке 1.

     Решение: результаты решения сформулированной задачи в виде графиков приведены на рисунке 2.

      4. Содержание отчета.

      Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание  на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг  программы; таблицу результатов; графики, выводы о проделанной работе.

     

Рис.2 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 

     1. Аналитически решить задачу Коши (1)-(2).

     2. Записать рабочие формулы методов  Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка для приближенного решения сформулированной задачи на отрезке (3).

     3. Используя блок-схему (Рис.1), составить программу на любом языке программирования, реализующую метод Эйлера и метод Рунге-Кутта для задачи Коши. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:

     4. Провести вычисления при .

     5. Построить графики точного решения  и двух приближенных (методы Эйлера и Рунге-Кутта).

     6. Составить отчет о проделанной  работе. 

ВАРИАНТЫ  ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ