КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. А.Н. ТУПОЛЕВА 
 
 

УТВЕРЖДАЮ:

Проректор по учебной и методической

      работе

      _________________ И.К. Насыров 

      «_____» _______________ 2007 г. 

ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

ЕН.Ф.06 "ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ"

Рекомендуется УМЦ КГТУ им. А.Н. Туполева для направлений

(специальностей) 

направления:   090100 * “Информационная безопасность” 

специальности: 075600  (090106)* «Информационная безопасность

                                                              телекоммуникационных систем» 

формы обучения: очная 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

*) коды  направлений и специальностей  указаны по Общероссийскому классификатору специальностей по образованию (ОК 009-2003) 
 

1. Цели  и задачи дисциплины

      Целью и задачами дисциплины является изучение основных положений вычислительной математики, знакомство с приближенными методами решения реальных инженерных задач на ЭВМ, современными методами решения задач, связанных с дифференциальными уравнениями, в объеме, достаточном для квалифицированного решения основных профессиональных задач будущими инженерами.

      Материал  курса основан  на знаниях, навыках  и умениях полученных при обучении в среднем образовательном учреждении, а также получаемых студентами при изучении дисциплин: «Алгебра и геометрия», «Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», «Программирование на языках высокого уровня», «Информатика».

      Студенты  должны быть знакомы  с основными алгебраическими структурами («Алгебра и геометрия»); с понятиями функции и ее непрерывности, с понятиями множества, отношения («Математический анализ»); с понятиями обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитическими методами их решения («Дифференциальные уравнения»); способами записи алгоритма, стандартными типами данных («Программирование на языках высокого уровня»); с основными приемами работы в операционных системах MS DOS и Windows, а также с основными офисными системами MS Word и MS Excel («Информатика»).

      Студенты  должны иметь практические навыки решения линейных алгебраических и нелинейных уравнений и систем («Алгебра и геометрия»), решения обыкновенных и систем обыкновенных дифференциальных уравнений («Дифференциальные уравнения»), уметь строить схемы алгоритмов и программ («Программирование на языках высокого уровня»).

      Знания, умения и навыки, полученные в процессе изучения данного курса, могут быть использованы студентами для изучения дисциплин «Технологии программирования», «Операционные системы», «Базы данных», «Управление данными», «Информационные технологии», «Сетевые технологии», «Теория принятия решений», а также при прохождении вычислительной практики студентами второго курса очной формы обучения. 

2. Требования  к уровню освоения содержания дисциплины

 

В результате изучения дисциплины студенты должны:

знать:

• основные  численные методы решения нелинейных уравнений, систем нелинейных и линейных алгебраических уравнений;
• методы интерполирования, аппроксимирования и экстраполирования функций;
• методы численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений;
• условий сходимости методов, областей применения численных методов, условий окончания итерационных процессов по каждому методу.

уметь:

• выводить  итерационные формулы для решения  конкретной задачи выбранным методом;
• составлять и отлаживать программу для конкретного метода;
• объяснять полученные результаты.

иметь опыт выбора метода численного решения конкретной задачи.

иметь представление:

• о вычислительной математике как науке о численных (приближенных) методах решения математических и реальных инженерных задач;
• о методах и алгоритмах численного решения задач, сходимости методов, погрешностях вычислений, теоретическом обосновании ряда методов, достоинствах и недостатках методов;
• о состоянии и тенденциях развития вычислительной математики.

 

3. Объем дисциплины и виды учебной работы

 
 
     

4. Содержание  дисциплины

 
     

1. Тематический  план *):

*) Используемые сокращения: ЛК –лекции, ЛБ  – лабораторные  работы, ПЗ – практические  занятия. 

      

2. Содержание  тем

1. Введение, понятие  приближенных (численных)  методов решения  инженерных задач на ЭВМ. Учет погрешностей при вычислениях. Вычислительные программные системы. (4/8ч.).

    1.1. Основные понятия дисциплины (1/2ч.).

    Понятие приближенных (численных) методов решения математических задач. Место численных методов в математическом анализе. Понятие вычислительной математики, предмет изучения вычислительной математики. Понятия итерационных методов и погрешностей вычислений, вычислительной схемы. Проблема «устойчивости вычислительных методов» и сложности алгоритма.

    1.2. Учет погрешностей при вычислениях (2/4ч.).

    Источники и классификация погрешностей. Основные понятия и определения теории погрешностей. Округление чисел. Погрешности  алгебраической суммы, произведения, частного, степени, корня, функции. Правило сложения приближенных чисел. Обратная задача теории погрешностей.

      1.3. Вычислительные программные системы (1/2ч.).

    Основы  работы с MS Excel, MathCad, MathLab с точки зрения решения задач вычислительной математики.

2. Приближенные методы  решения нелинейных  уравнений, систем  нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений (14/23ч.).

      2.1. Приближенные методы  решения нелинейных уравнений (8/8ч.).

      Понятия отделения и уточнения корней нелинейных уравнений на отрезке. Графический и аналитический методы отделения корней. Геометрическая интерпретация графического и аналитического методов. Методы уточнения корней: метод дихотомии, метод простых итераций, метод Ньютона (касательных), модифицированный метод Ньютона.

    Метод простых итераций: понятия начального приближения и итерационного  процесса; достаточное условие сходимости итерационного процесса; критерии останова итерационного процесса. Геометрическая интерпретация метода простых итераций. Приведение нелинейного уравнения к виду, допускающего сходящиеся итерации. Достоинства и недостатки метода простых итераций.

    Метод Ньютона, его геометрическая интерпретация, рабочая формула, выбор начального приближения. Достаточное условие  сходимости. Критерий останова итерационного процесса. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Модифицированный метод Ньютона, его геометрическая интерпретация и рабочая формула.

     2.2. Приближенные методы  решения систем  нелинейных уравнений  (3/7ч.).

    Понятие системы нелинейных уравнений (СНУ). Проблема отделения корней СНУ. Приближенные методы решения СНУ. Метод простых итераций, понятия начального приближения, итерационного процесса. Достаточные условия сходимости итерационного процесса. Критерий останова итерационного процесса. Приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации на примере системы второго порядка. Достоинства и недостатки метода простых итераций для решения СНУ.

    Метод Ньютона для решения СНУ, его  рабочая формула и критерий останова итерационного процесса. Достаточное условие сходимости. Достоинства и недостатки метода Ньютона. Рабочая формула модифицированного метода Ньютона.

     2.3. Приближенные методы  решения систем  линейных алгебраических  уравнений (3/8ч.).

     Методы  решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простых итераций, его рабочие формулы и критерий останова; выбор начального приближения; достаточные условия и необходимые и достаточные условия сходимости итерационного процесса; приведение исходной системы к системе, допускающей сходящиеся итерации; достоинства и недостатки метода простых итераций.

      Рабочие формулы методы Зейделя, критерий останова, необходимые и достаточные условия сходимости метода. Достоинства и недостатки метода.

      Метод релаксации. Приведение исходной системы  к виду, пригодному для релаксации. Понятие невязки. Рабочие формулы метода. Критерии останова процесса.

3. Задачи интерполяции, экстраполяции и  аппроксимации функций.  Основные приложения теории интерполяции. (10/15ч.).

      3.1. Построение интерполяционных  формул Лагранжа, первой и второй формул Ньютона (3/6ч.).

    Постановка  задачи интерполирования функций по заданной системе точек, понятие равноотстоящих и неравноотстоящих узловых точек. Принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, первой и второй интерполяционной формулы Ньютона, их форма записи и погрешности вычислений по ним. Формулы линейной и квадратичной интерполяции. Понятие табличных разностей различных порядков.

      3.2. Основные приложения  теории интерполяции (4/5ч.).

      Понятие численного дифференцирования. Основные принципы решения задачи численного дифференцирования на примере использования таблицы узловых точек и интерполяционных полиномов. Погрешность построенных формул.