ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №6-7.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ  И АППРОКСИМАЦИЯ  ФУНКЦИЙ.

 

     Цель  работы: научиться строить интерполяционные и аппроксимационные многочлены по заданной системе точек с помощью ЭВМ.

     Содержание  работы:

     1. Изучить принципы построения  интерполяционной формулы Лагранжа, I и II интерполяционных формул Ньютона и аппроксимационного полинома.

     2. На конкретном примере усвоить  порядок построения указанных  полиномов с помощью ЭВМ.

     3. Составить программу на любом  языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов второго порядка для системы из трех равноотстоящих узловых точек.

     4. Сделать вывод о точности построения  полиномов.

     5. Составить отчет о проделанной  работе. 

ПРИМЕР  ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 

     Задание.

     1. Составить таблицу значений экспериментальной функции с точностью для равноотстоящей системы из трех узловых точек , на отрезке из области допустимых значений функции, где .

     2. По сформированной системе точек  построить интерполяционную формулу  Лагранжа, I и II интерполяционные формулы Ньютона и аппроксимационный полином второго порядка.

     3. Составить программу на любом  языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов для заданной системы точек. 

     Решение.

     1. Таблица значений функции  с точностью для равноотстоящей системы из трех узловых точек , на отрезке , где , имеет вид:

     2. Интерполяционный полином Лагранжа.

     Замечание. Так как данный полином строится для произвольной системы узловых точек, то запишем этот полином для равноотстоящих узловых точек:

,

где коэффициенты вычисляются так:

          ;

          ;

          .

     Тогда искомый многочлен Лагранжа второго порядка будет иметь вид:

   ,

где .

     I интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной системе точек строится в виде:

                   .

     Здесь величины , называются табличными разностями первого и второго порядков соответственно, .

     II интерполяционная формула Ньютона второго порядка по заданной системе точек строится в виде:

                   .

     Здесь величины и вводятся аналогично случаю, рассмотренному выше, .

     При построении аппроксимационного многочлена методом наименьших квадратов необходимо, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена второго порядка

                        .

     Согласно  алгоритму метода наименьших квадратов, для построения многочлена второй степени необходимо вычислить следующие суммы:

,

и решить систему линейных алгебраических уравнений 3-го порядка вида

                     (1)

относительно  неизвестных коэффициентов  . В данном случае система (1) будет выглядеть так

                     (2)

     Для ее решения можно воспользоваться  любым известным методом, например, методом Крамера. Для этого необходимо вычислить четыре определителя системы (2) вида:

     Значения  искомых коэффициентов вычисляются по формулам:

                 .

     Искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:

.

     Для проверки правильности построения полиномов  необходимо провести программно процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при с одинаковым шагом табулирования.

     Графики этих функций представлены на рисунке 1. Из графика видно, что искомые полиномы на отрезке практически совпадают с экспериментальной функцией и проходят через узловые точки.

      Замечание. Аппроксимационный полином в общем случае не проходит через узловые точки и для системы из трех узловых точек может давать погрешность, превышающую погрешность построения остальных полиномов.

Рис.1.

      3. Содержание отчета.

      Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание  на работу; теоретическую часть работы (вывод интерполяционных и аппроксимационного полиномов); графики; листинг программы; таблицу результатов; выводы о проделанной работе. 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 

     1. Составить программу на любом  языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов:

     1.1. Сформировать таблицу значений  экспериментальной функции с точностью для равноотстоящей системы из трех узловых точек , на отрезке из области допустимых значений функции, где .

     1.2. Вычислить значения коэффициентов  интерполяционной формулы Лагранжа и записать непосредственно полином.

     1.3. Вычислить значения табличных  разностей первого и второго  порядков, необходимых для построения I и II интерполяционных формул Ньютона и записать непосредственно полиномы.

     1.4. Для построения аппроксимационного  полинома второго порядка вычислить  необходимые суммы, сформировать  СЛАУ 3-го порядка, решить ее любым известным методом и записать непосредственно полином.

     1.5. Осуществить процесс табулирования четырех построенных полиномов и экспериментальной функции при с одинаковым шагом табулирования. Печать результатов табулирования должна осуществляться на каждом шаге в виде следующей таблицы:

 

     2. Провести вычислительные эксперименты.

     3. Построить графики всех приведенных  в таблице функций.

     4. Составить отчет о проделанной  работе. 

ВАРИАНТЫ  ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ