ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ  МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

     Цель  работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

     Содержание  работы:

     1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

     2. На конкретном примере усвоить  порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

     3. Составить программу и с ее  помощью решить систему уравнений  с точностью .

     4. Изменить  и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций.

     5. Составить отчет о проделанной  работе. 

ПРИМЕР  ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 

     Задание.

     1. Аналитически решить СНУ вида:

                          (1)

     2. Построить рабочие формулы МПИ  и метода Ньютона для численного решения системы (1) при начальном приближении

                             . (2)

     3. Составить программу на любом  языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс. 

     Решение.

     1. Аналитическим решением СНУ (1) являются точки  и .

     2. Для построения рабочих формул  МПИ для численного решения  системы (1) необходимо вначале  привести ее к виду:

                                (3)

     Для этого умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Получим первое уравнение преобразуемой системы

            (4)

где . Далее, умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную , второе - на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения . Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

            (5)

где .

      Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса:

                       и  .

      Запишем эти условия более подробно:

                  

                  

      Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

                           (6)

      Для решения системы (6) необходимо вычислить  частные производные :

                 .

      Тогда СЛАУ (6) запишется так:

                            

      Решением  этой системы являются следующие значения: , , , . Тогда рабочие формулы (4), (5) для решения СНУ (1) примут вид:

     Для реализации на ЭВМ рабочие формулы  можно переписать так:

      После несложных преобразований данные формулы  примут вид:

                   

      Заметим, что если частные производные  мало изменяются в окрестности начального приближения (2), то:

                 .

     Тогда СЛАУ (6) запишется так:

                            

     Решением  этой системы являются точки  , , . Тогда рабочие формулы (4), (5) МПИ для решения СНУ (1) примут вид:

                     

     Для реализации на ЭВМ рабочие формулы  можно переписать так:

              (7)

      Итерационный  процесс (7) можно начать, задав начальное  приближение (2). Процесс (7) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ (1).

     3. Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

                        (8)

где ,

необходимо:

      1. Найти матрицу частных производных  .

      2. Найти определитель этой матрицы:

                         .

      3. Определить обратную матрицу:

       .

      Проведя несложные преобразования получим  рабочую формулу метода Ньютона (8) в виде:

                   

      3. Блок-схема МПИ и метода Ньютона  для решения СНУ приведена  на рисунке 1.

     Решение: в результате решения СНУ (1) при начальном приближении (2) методом простых итераций с точностью получено решение , а методом Ньютона .

       4. Содержание отчета.

      Отчет о проделанной работе должен содержать: номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание  на работу; теоретическую часть работы (вывод итерационных формул); листинг программы; таблицу результатов; выводы о проделанной работе. 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 

     1. Определить аналитическое(ие) решение(я)  исходной системы нелинейных уравнений.

     2. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска одного из решений системы нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона.

     3. Составить программу на любом  языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы, используя алгоритм методов, приведенный на рисунке 1. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы:

     4. Провести вычислительные эксперименты.

     5. Составить отчет о проделанной  работе. 

ВАРИАНТЫ  ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ