Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

Глава 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 

§2.1. Основные этапы решения  нелинейных уравнений 

      Определение 2.1. Нелинейным уравнением называется уравнение вида

                                   , (2.1)

где  - нелинейная функция вида:

• нелинейная алгебраическая функция (полином или многочлен) ;
• трансцендентная функция – тригонометрическая, обратная тригонометрическая, логарифмическая, показательная, гиперболическая функция;
• комбинирование этих функций, например .

      Определение 2.2. Решением нелинейного уравнения (2.1) называется такое значение , которое при подстановке в уравнение (2.1) обращает его в тождество.

      На  практике не всегда удается найти  точное решение. В этом случае решение уравнения (2.1) находят с применением приближенных (численных) методов.

      Определение 2.3. Приближенным решением нелинейного уравнения (2.1) называется такое значение , при подстановке которого в уравнение (2.1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности, т.е. , где - малая положительная величина.

      Нахождение  приближенных решений составляет основу численных методов и вычислительной математики.

      Решение нелинейных уравнений распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

       На первом этапе необходимо исследовать  уравнение и выяснить, имеются  корни или нет. Если корни имеются, то необходимо определить их количество и затем найти интервалы, в каждом из которых находится только один корень, т.е. отделить корни.

      Первый  способ отделения  корней – графический. Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если имеет простой аналитический вид, то, исходя из уравнения (2.1), можно построить график функции . Тогда точки пересечения графика функции с осью абсцисс будут являться приближенными значениями корней исходного нелинейного уравнения. Если имеет сложный аналитический вид, то можно представить ее в виде разности двух более простых функций . Так как , то выполняется равенство . Построим два графика , (рис. 2.1). Тогда задача решения нелинейного уравнения (2.1) сводится к поиску абсцисс точек пересечения двух графиков, которые и будут являться приближенными значениями корней уравнения (2.1).

       Пример 2.1. Пусть дано нелинейное уравнение вида . Для решения его графическим методом представим уравнение (2.1) в виде , где ; . Графики функций ; представлены на рис. 2.2, из которого видно, что исходное уравнение имеет единственный корень .

       Пример 2.2. Пусть задано нелинейное уравнение вида или . Построив два графика функций и , нетрудно заметить, что исходное уравнение не имеет корней (рис. 2.3). 
 

      

      Пример 2.3. Для нелинейного уравнения вида с помощью аналогичных преобразований получим, что исходное уравнение имеет три корня (рис. 2.4).

      Второй способ отделения  корней нелинейных уравнений – аналитический. Процесс отделения корней здесь основывается на следующих теоремах.

      Теорема 2.1. Если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

      Теорема 2.2. Если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

      Теорема 2.3. Если функция является многочленом -й степени и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на имеется нечетное количество корней. Если на концах отрезка функция не меняет знак, то уравнение (2.1) либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

      При аналитическом  методе исследований необходимо выявить  интервалы монотонности функции . Для этого необходимо найти критические точки , т.е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности , на каждом из которых определяется знак производной , где . Затем выделяются те интервалы монотонности , на которых функция меняет знак, т.е. выполняется неравенство . На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

      Наиболее  распространенными методами уточнения  корня на отрезке являются итерационные (приближенные) методы: метод половинного деления (метод дихотомии), метод простых итераций, метод Ньютона (метод касательных) и его модификация.

§2.2. Метод половинного  деления

 

      Для уточнения корня нелинейного  уравнения (2.1) на отрезке  , где , а производная сохраняет знак, применим метод половинного деления. Для этого разделим отрезок пополам и исследуем знак функции в полученной точке , где . Из двух отрезков и выбираем тот, на котором функция меняет знак. Уменьшая новый отрезок в два раза, повторяем процесс и т.д. Получим последовательность отрезков , на концах которых выполняется неравенство

                               (2.2)

и длины  этих отрезков равны

                         .  (2.3)

      Последовательность  является монотонной неубывающей ограниченной последовательностью; а - монотонной невозрастающей ограниченной последовательностью. Следовательно, эти последовательности сходятся. Перейдем к пределу при в левой и правой частях соотношения (2.3), получим

                      .

      Тогда . С другой стороны, из неравенства (2.2) следует, что . Последнее неравенство возможно только тогда, когда . Следовательно, является корнем исходного уравнения (2.1).

§2.3. Метод простых  итераций

 

      Пусть известно, что нелинейное уравнение  , где - непрерывная функция, имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью . Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение (2.1) к виду

                                    .  (2.4)

      Выберем произвольно приближенное значение корня (начальное приближение) и вычислим первое приближение . Найденное значение подставим в правую часть соотношения (2.4) и вычислим , и так далее, т.е.

                           (2.5)

      Продолжая процесс вычислений дальше, получим  числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является приближенным значением корня уравнения (2.4). В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве (2.5) и учитывая непрерывность функции на отрезке , получим или . Следовательно, предел последовательности является корнем уравнения (2.4).

      Таким образом, корень можно вычислить  с заданной точностью по следующей  итерационной формуле

                         

Геометрическая  интерпретация метода простых итераций

 

       Геометрически метод итерации может  быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости  графики функций и . Действительный корень уравнения (2.4) является абсциссой точки пересечения кривой с прямой (рис. 2.5).

      Начиная процесс с некоторой точки  , строим ломаную линию («лестница»), звенья которой попеременно параллельны оси и оси , вершины лежат на кривой , а вершины - на прямой . Общие абсциссы точек и , и , … представляют собой соответственно последовательные приближения корня . В рассмотренном случае кривая пологая, и .

       Возможен другой вид ломаной  («спираль») (рис. 2.6). В этом случае последовательные приближения стремятся к корню то с одной, то с другой стороны. В этом случае , но .

       Однако если рассмотреть случай, где  (рис. 2.7), то процесс итераций расходится, т.е. последовательные приближения все дальше удаляются от корня и в какой-то момент могут выйти за пределы отрезка . Поэтому для практического применения метода простых итераций нужно определить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

      Достаточное условие, при котором итерационный процесс, заданный формулой (2.5), сходится, определяет следующая теорема.

      Теорема 2.4. Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения и выполняется условие

                        при  , (2.6)

тогда процесс итераций, определяемый формулой (2.5), сходится независимо от выбора начального приближения и предельное значение является единственным корнем уравнения (2.4) на отрезке .

      Доказательство.

      Рассмотрим  два последовательных приближения  и . По условию теоремы принадлежат отрезку . Применяя теорему Лагранжа, получим:

,

где точка  лежит между и . В силу условия (2.6)

                         .  (2.7)

      Придавая  значения , получим

                    ;

                    ;

                   …

                    . (2.8)

      Рассмотрим  ряд

                   , (2.9)

для частичных  сумм которого выполняется соотношение  . Если докажем, что ряд (2.9) сходится, то тем самым будет доказана сходимость последовательности .

      Сравним два ряда:

                    ;  (2.10)

                    . (2.11)

      В силу соотношений (2.8) члены ряда (2.10) не превышают соответствующих членов ряда (2.11), которые являются членами  геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, ряд (2.10) сходится, а ряд (2.9) сходится абсолютно. Таким образом, существует

,

причем  .

      Переходя  к пределу в равенстве (2.5), в  силу непрерывности функции  получим

.

      Следовательно, - корень уравнения (2.4).

      Докажем, что этот корень единственный. Предположим, что на отрезке  существует еще один корень уравнения (2.4) . Тогда в силу теоремы Лагранжа

,

где находится между и . Отсюда . Но , поэтому выражение в квадратных скобках не равно нулю. Следовательно, , т.е. - единственный корень уравнения (2.4).

      Точка при этом называется неподвижной точкой для уравнения (2.4).

Приведение  нелинейного уравнения  к виду ,

допускающему  сходящиеся итерации

 

      Выполнения  достаточного условия сходимости можно  добиться путем перехода от исходного  уравнения  к эквивалентному виду следующим образом: умножим обе части уравнения (2.1) на неизвестную постоянную , , затем прибавим к обеим частям переменную , тогда получим . Обозначим через , тогда . Константа выбирается так, чтобы выполнялось достаточное условие сходимости итерационного процесса (2.6), т.е. для всех . Это условие равносильно условию , отсюда: