Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

     Итерационные  методы решения нелинейного уравнения (2.1) можно разбить на две группы:

• дискретные схемы решения;
• непрерывные схемы решения.

     Дискретные  схемы решения были рассмотрены в §§2.2-2.5. Заметим, что основными недостатками перечисленных методов являются:

• зависимость от начальных условий или от интервала нахождения корня;
• сравнительно низкая скорость сходимости;
• нет правил перехода от корня к корню уравнения (2.1) в случае, если их несколько.

     При применении непрерывных схем для  решения уравнения (2.1) [11] процесс  нахождения корней осуществляется путем решения соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения

                            (2.22)

     Пусть функция  определена и монотонна при и существует конечная производная . Задачу нахождения корней уравнения (2.1), являющуюся непрерывным аналогом метода простых итераций, можно рассматривать как предел при решения задачи Коши

                            (2.23)

если  этот предел существует. Обозначим  через  решение задачи Коши (2.23), - искомое решение уравнения (2.1). Тогда должно иметь место тождество . Вводя обозначение для отклонения и, вычитая из (2.23) последнее уравнение, имеем

                             .  (2.24)

     Разлагая  в ряд Тейлора в окрестности точки с сохранением линейных членов и подставляя полученное выражение в уравнение (2.24), получаем дифференциальное уравнение в отклонениях , решение которого имеет вид

                             .  (2.25)

     Видим, что условием сходимости к корню является требование , так как в этом случае при , и, следовательно, . Считая, что монотонна при , последнее уравнение можно распространить на всю рассматриваемую область. Таким образом, условием применения непрерывной схемы метода простых итераций для решения задачи Коши (2.23) является

                               .  (2.26)

     Непрерывные схемы решения обладают более  высокой скоростью сходимости и  более высокой точностью решения  по сравнению с соответствующими дискретными схемами. Но проблема зависимости от начальных условий и отсутствие правил перехода от корня к корню в случае, когда уравнение (2.1) имеет более одного решения, остается открытой.

     Как видно из дифференциального уравнения (2.23) и уравнения (2.1), левая часть последнего заменяется производной . Данная замена является грубым приближением решения задачи (2.23) к решению задачи (2.1). Это влечет за собой не только большую погрешность при вычислениях, но и к снижению скорости расчетов.

     Перепишем уравнение (2.1) в виде

                             ,  (2.27)

где - малый параметр, .

     Переход от задачи (2.1) к задаче (2.27) теоретически обоснован, так как интегральные кривые, являющиеся решением уравнения с малым параметром (2.27), проходят через все решения уравнения (2.1). Задачу нахождения корней этого уравнения непрерывным сингулярным аналогом метода простых итераций можно рассматривать как предел при и решения задачи Коши вида

                               (2.28)

если  этот предел существует.

     Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным выше, получим, что решение уравнения (2.27) в точке будет иметь вид:

                          (2.29)

     При этом, в силу того, что  , условие сходимости (2.26) останется прежним.

     Полученная  модификация классических схем решения  не зависит от начальных условий и обладает более высокой точностью решения. Для доказательства более быстрой скорости сходимости предположим, что применение итерационных методов никогда не дает точного решения и введем точность решения . Моменты нахождения решений с точностью классическими и модифицированными методами обозначим как и . Используя решения (2.25) и (2.29), запишем неравенства вида

                          ,

                          .

     Из  соотношений видно, что  и . Сопоставляя полученные значения и , видим, что , т.е. скорость сходимости при решении задачи модифицированными методами в раз выше, чем классическими.