аналитические методы, в которых решение получается в виде аналитических функций;
численные (приближенные) методы, где искомые интегральные кривые получают в виде таблиц их числовых значений.

Применение аналитических методов позволяет исследовать полученные решения методами математического анализа и сделать соответствующие выводы о свойствах моделируемого явления или процесса. К сожалению, с помощью таких методов можно решать достаточно ограниченный круг реальных задач. Численные методы позволяют получить с определенной точностью приближенное решение практически любой задачи.

Решить дифференциальное уравнение

(8.1)

численным методом означает, что для заданной последовательности аргументов и числа , не определяя аналитического вида функции , найти значения , удовлетворяющие условиям:

.

Рассмотрим три наиболее распространенных при решении практических задач численных метода интегрирования: метод Эйлера, метод Рунге-Кутта и метод Адамса.

§8.1. Метод Эйлера.

Этот метод обладает малой точностью и применяется в основном для ориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера, являются исходными для ряда других численных методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение с начальным условием (задача Коши)

, (8.2)

и выполняются условия существования и единственности решения.

Теорема Пиккара (теорема о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если в уравнении (8.1) функция непрерывна в прямоугольнике и удовлетворяет в условию Липшица

,

где - константа Липшица, то существует единственное решение , , уравнения (8.1), удовлетворяющее условию , где , в .

Требуется найти решение задачи Коши (8.2).

Выбрав шаг - достаточно малый, равный , строим систему равноотстоящих точек _.

Искомую интегральную кривую , проходящую через точку , приближенно заменим ломаной Эйлера с вершинами (Рис.8.1).

Звено ломаной , заключенное между и , наклонено к оси под углом . Тангенс этого угла вычисляется по формуле:

.

Сделав преобразование, получим формулу Эйлера:

_. (8.3)

Вычисление значений осуществляется с использованием формулы (8.3) следующим образом. По заданным начальным условиям и полагая в выражении (8.3) вычисляется значение

_. (8.4)

Далее определяя значение аргумента по формуле , используя найденное значение и полагая в формуле (8.3) вычисляем следующее приближенное значение интегральной кривой :

_. (8.5)

Поступая аналогичным образом при определяем все остальные значения , в том числе последнее значение , которое соответствует значению аргумента .

Таким образом, соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямых, получаем ломаную линию с вершинами в точках .

Запишем разложение в ряд Тейлора:

(8.6)

Учитывая формулы (8.3) и (8.6), получим

(8.7)

Соотношение (8.7) может быть использовано для выбора шага . Как правило, шаг выбирают таким образом, чтобы , где - заданная точность.

Метод Эйлера может быть применен к решению систем дифференциальных уравнений.

Пусть задана система двух дифференциальных уравнений первого порядка

(8.8)

с начальными условиями

.

Необходимо найти решение этой задачи Коши. Проводя аналогичные рассуждения, получаем расчетные формулы вида:

(8.9)

где - шаг интегрирования.

В результате применения расчетной схемы (8.9) получается приближенное представление интегральных кривых и в форме двух ломаных Эйлера, построенных по полученным точкам .

Достоинством метода Эйлера является его простота и высокая скорость поиска решения. Недостатками метода Эйлера являются малая точность и систематическое накопление ошибок, так как при вычислении значений на каждом последующем шаге исходные данные не являются точными и содержат погрешности, зависящие от неточности предшествующих вычислений.

§8.2. Метод Рунге-Кутта.

Данный метод является одним из наиболее распространенных численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. По сравнению с описанным выше методом Эйлера метод Рунге-Кутта имеет более высокую точность, но невысокую скорость поиска решения, так как метод относится к классу многошаговых методов.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

, (8.10)

с начальным условием

. (8.11)

Выберем шаг и для краткости введем обозначения , , где .

Рассмотрим числа:

(8.12)

По методу Рунге-Кутта последовательные значения искомой функции определяются по формуле:

. (8.13)

Погрешность метода Рунге-Кутта, заданного формулой (8.13), на каждом шаге есть величина порядка (в предположении, что ).

Формулу (8.13) еще называют формулой Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Помимо формулы (8.13) существуют еще другие формулы типа Рунге-Кутта с иными порядками точности. В частности формула - формула Рунге-Кутта второго порядка точности. Эта формула на каждом шаге дает погрешность порядка .

Для определения правильности выбора шага на практике обычно на каждом этапе из двух шагов применяют двойной пересчет. Исходя из текущего верного значения , вычисляют двумя способами: вначале с шагом , а затем с шагом . Если расхождение полученных результатов не превышает допустимой погрешности, то шаг для данного этапа выбран правильно и полученное с его помощью значение можно принять за . В противном случае шаг уменьшается в два раза. Эту вычислительную схему легко запрограммировать на ЭВМ.

Метод Рунге-Кутта может быть использован и при решении систем дифференциальных уравнений. Рассмотрим задачу Коши для системы двух дифференциальных уравнений:

с начальными условиями

.

Формулы метода Рунге-Кутта для данной системы примут вид:

где

Метод Рунге-Кутта обладает значительной точностью и, несмотря на свою трудоемкость, широко используется при численном решении дифференциальных уравнений и систем. Важным преимуществом этого метода является возможность применения переменного шага, что позволяет учитывать локальные особенности искомой функции.

§8.3. Метод Адамса.

Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855 году по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, который занимался баллистикой. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале XX века норвежским математиком Штермером. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связано с именем А.Н. Крылова.

Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка

, (8.14)

с начальным условием

. (8.15)

Пусть - система равноотстоящих значений с шагом и . Очевидно, что

. (8.16)

Запишем вторую интерполяционную формулу Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка:

, (8.17)

где .

В формуле (8.17) функцию заменим на производную , получим:

. (8.18)

Так как , то подставив (8.18) в (8.16), получим:

.

После преобразований будем иметь:

. (8.19)

Формула (8.19) называется экстраполяционной формулой Адамса.

Для начала итерационного процесса нужно знать начальные значения , так называемый начальный отрезок, который определяют, исходя из начального условия (8.15), каким-либо численным методом (например, методом Рунге-Кутта). Зная значения из (8.14) находят и составляют таблицу разностей:

. (8.20)

Дальнейшие значения искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса (8.19), пополняя по мере необходимости таблицу разностей (8.20).

Для работы на ЭВМ формулу Адамса применяют в раскрытом виде. Так как

то после приведения подобных членов имеем:

(8.21)

На практике шаг выбирают так, чтобы можно было пренебречь величиной

.

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений. Погрешность метода Адамса имеет тот же порядок, что и метод Рунге-Кутта.