Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

      Понятие численного интегрирования, квадратурных формул. Построение квадратурной формулы Ньютона-Котеса с использованием интерполяционных формул, коэффициенты Котеса. Частные случаи формулы Ньютона-Котеса (формула трапеций и формула Симпсона) и их геометрическая интерпретация. Погрешность построенных формул. Понятие несобственных интегралов. Приближенное вычисление несобственных интегралов. Случаи бесконечного отрезка интегрирования с непрерывной подынтегральной функцией и разрывной на конечном отрезке интегрирования подынтегральной функцией, их геометрическая интерпретация.

      Приближенное  вычисление двойных интегралов: понятие кубатурных формул; вывод кубатурной и обобщенной кубатурной формул типа Симпсона для различных видов областей интегрирования.

      3.3. Метод наименьших  квадратов для  обработки результатов  экспериментов (3/4ч.).

    Задача  аппроксимирования функций по заданной системе точек. Общая идея метода наименьших квадратов. Понятие отклонения искомой функции от экспериментальной в узловых точках. Алгоритм метода наименьших квадратов и его теоретическое обоснование.

    Аппроксимация с помощью экспоненциальных функций.

4. Приближенное решение  обыкновенных дифференциальных  уравнений и систем, краевых задач для решения дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. (6/6ч.).

      4.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (3/3ч.).

    Классификация методов решения и численных  методов интегрирования дифференциальных уравнений. Понятия задачи Коши и шага интегрирования. Метод последовательных приближений (метод Пиккара). Метод Эйлера: общая идея метода, его графическая интерпретация и рабочая формула. Достоинства и недостатки метода. Рабочие формулы метода Эйлера для решения системы второго порядка дифференциальных уравнений.

    Метод Рунге-Кутта. Общая идея методов  Рунге-Кутта второго и четвертого порядков, их рабочие формулы. Достоинства и недостатки методов. Решение задачи Коши для системы второго порядка методом Рунге-Кутта четвертого порядка.

    Метод Адамса. Достоинства и недостатки метода Адамса. Экстраполяционная и интерполяционная формулы Адамса для решения дифференциальных уравнений.

    Непрерывные схемы решения нелинейных уравнений, условие их применения. Дифференциальное уравнение в отклонениях, его решение. Достоинства и недостатки непрерывных схем. Дифференциальное уравнение с малым параметром, его решение. Достоинства и недостатки методов решения нелинейных уравнений с использованием дифференциальных уравнений с малым параметром.

    4.2. Приближенное решение  краевых задач  для дифференциальных  уравнений второго  порядка (1/2ч.).

     Метод конечных разностей. Понятие краевой  задачи для дифференциального уравнения  второго порядка и ее геометрическая интерпретация при различных  краевых условиях. Понятие двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка и ее форма записи. Метод конечных разностей для решения двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка.

     Метод прогонки. Конечно-разностная и каноническая формы записи двухточечной краевой задачи для линейного дифференциального уравнения второго порядка. Алгоритм метода прогонки прямым и обратным ходом вычислений.

     4.3. Приближенное решение  краевых задач  для дифференциальных  уравнений в частных производных первого порядка (2/1ч.).

     Методы  моделирования и Монте-Карло для  решения задачи Дирихле. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка эллиптического типа. Понятие краевых задач для уравнений эллиптического типа. Понятие задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле методом моделирования и Монте-Карло.

     Метод сеток и метод прогонки для  решения уравнений параболического  типа. Понятие дифференциального  уравнения в частных производных  первого порядка параболического  типа. Метод сеток и метод прогонки для решения уравнений параболического типа.

     Метод сеток для решения уравнений  гиперболического типа. Понятие дифференциального уравнения в частных производных первого порядка гиперболического типа. Метод сеток для решения уравнений гиперболического типа. 

3. Лабораторный  практикум

 
      

4. Курсовой  проект (работа) и  его содержание

      Курсовой  проект и курсовая работа не предусмотрены.

5. Контрольная работа.

      Контрольная работа не предусмотрена.

6. Подготовка реферата.

      Реферат не предусмотрен. 

5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

5.1 Рекомендуемая литература

      а) основная литература:

      б) дополнительная литература:

     1. Иванов В.С., Ляшев А.С. Лабораторный практикум по дисциплине «Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах». Казань, КАИ, 1984.

     2. Вахонина Г.С. Методическое руководство  к выполнению лабораторных работ по дисциплине “Методы вычислений”. – Казань: КАИ, 1982.

     3. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Лабораторный практикум, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2002, 44с.

     4. Горбунов Д.А., Вахонина Г.С. Применение численных методов для решения инженерных задач на ЭВМ. Методические указания для студентов заочной формы обучения, Казань, Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2001, 40с.

     5. «Журнал вычислительной математики».

     6. «Математическое моделирование».

     7. «Программирование».

     8. «Математика. Реферативный журнал».

     9. http://meth.ras.ru («Журналы Отделения Математики  РАН»).

     10. http://www.exponenta.ru («Образовательный математический  сайт»). 

      5.2 Средства обеспечения  освоения дисциплины

      Программное обеспечение для выполнения лабораторных работ и самостоятельной работы студентов:

1. Windows 98 или более поздних версий.
2. Автоматизированная вычислительная система  «MathCad».
3. Автоматизированная вычислительная система  «MathLab».
4. MS Excel 97 или более поздних версий.
5. MS Word 97 или более поздних версий.
6. Системы программирования Turbo C V6.0 или 7.0, Borland C++ V6.0 или 7.0.
7. Системы программирования Turbo Pascal V6.0 или 7.0, Borland Pascal V6.0 или 7.0.

 

6. Материально-техническое  обеспечение дисциплины 

      Для проведения лабораторных работ и  организации самостоятельной работы студентов необходимо иметь учебный  класс оснащенный ПЭВМ со стандартной комплектацией. 

7. Методические рекомендации  по организации  изучения дисциплины

7.1. Организация изучения дисциплины при очной форме обучения 

      Обучение  проводится в течение одного семестра. Темы 1-4 и все указанные лабораторные работы рассматриваются в семестре № 3.

      При проведении лабораторных работ используются программные комплексы, поддерживающие языки программирования Pascal и C, как в учебных лабораториях кафедры, оснащенных компьютерами, так и в ВЦ.

      При изучении дисциплины используется балльно - рейтинговая система оценки знаний. Контрольные тестирования организуются на 6, 12 и 17 неделях каждого семестра. Каждое тестирование включает задания, предусматривающие  ответы на теоретические и практические вопросы (см. приложение № 5).

 

Программу составили:

Горбунов Д.А., к.т.н., доцент каф. ПМИ КГТУ им. А.Н. Туполева

_____________________      

Программа обсуждена и одобрена на заседании кафедры ПМИ 

«____» ______________2007г., протокол № __. 
 

Зав. кафедрой ПМИ                                                                  Н.Е. Роднищев

д.т.н., профессор 

Председатель  Учебно-методической                                      В.А. Суздальцев

комиссии факультета, доцент 
 

Декан факультета                                                                      Л.Ю.Емалетдинова

д.т.н., профессор 

Согласовано: В.И.Глова

зав.кафедрой СИБ

д.т.н., профессор

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

ТЕСТЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ  МАТЕМАТИКА» 

Вопрос 1. Сделайте вывод о сходимости итерационного процесса , построенного для решения нелинейного уравнения методом простых итераций на отрезке .

1. сходится для любой точки из отрезка;
2. сходится только из определенной точки отрезка;
3. сходится только для одной из граничных точек отрезка;
4. расходится на всем отрезке;
5. расходится на всей числовой оси.

Вопрос 2. Чему равно значение , вычисленное по итерационной формуле при ?

1. 0.5;
2. 0.875;
3. 0.4;
4. 0.8;
5. 0.9.

Вопрос 3. Если итерационный процесс, построенный по методу простых итераций для решения нелинейного уравнения на отрезке сходится, то в качестве начальной точки может быть выбрана:

1. одна из граничных точек отрезка;
2. обе граничные точки отрезка;
3. середина отрезка;
4. любая точка отрезка;
5. все ответы правильные.

Вопрос 4. По какой из итерационных формул осуществляется решение нелинейных уравнений вида методом Ньютона?