Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

     На  рисунке 5.2 приведены графики искомых  полиномов и табличной функции. Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке равна:

.

Рис.5.2. 

§5.7. Обработка экспериментальных данных некоторыми другими функциями. 

      Во  многих случаях экспериментальные  данные могут быть аппроксимированы не только полиномами различных порядков. Это обусловлено физическими, экономическими и другими законами исследуемых процессов, а также опытом испытателя. Если, например, испытатель уверен, что параметры какого-либо прибора, снятые с испытательного стенда, по своим физическим характеристикам являются близкими к экспоненциальным, то нет смысла аппроксимировать их полиномами. Также экспериментальные данные могут быть аппроксимированы показательными, логарифмическими, тригонометрическими и другими функциями.

      В качестве примера рассмотрим аппроксимацию экспериментальных данных, приведенных в таблице 5.3, экспоненциальной функцией , где и - параметры искомой функции, которые требуется определить.

      Сформулированную  задачу будем решать методом наименьших квадратов. Функция в этом случае запишется так:

                          .

      Расписав  необходимые условия экстремума этой функции по переменным и , и, сделав несложные преобразования, получим СЛАУ второго порядка вида:

      Решая эту систему любым известным  методом, определим коэффициенты экспоненциальной функции и .

      Пример 5.3. По заданной в таблице 5.4 системе точек

                                                   Таблица 5.4.

методом наименьших квадратов построить  аппроксимационную экспоненциальную функцию вида:

                               .

      Для построения необходимо вычислить следующее суммы:

       , , , ,

и решить СЛАУ второго порядка относительно неизвестных коэффициентов и :

      Значения  неизвестных коэффициентов равны: , .

      Тогда искомая экспоненциальная функция будет иметь вид:

                             .

      График  функции и ломаная , построенная по результатам, приведенным в таблице 5.4, изображены на рисунке 5.3.

                            Рис.5.3.