Итерациональные методы решения нелинейных уравнений

               (5.29)

      Используя обобщенную степень, получим:

          .  (5.30)

      Найдем  коэффициенты из условий . Эти условия равносильны

                         .  (5.31)

      Полагая в выражении (5.30), получим

                            .  (5.32)

      Чтобы найти коэффициент  , составим первую конечную разность:

.

      Полагая , получим:

.

Отсюда

                                .  (5.33)

      Из  второй конечной разности

при находим:

.

Следовательно,

                                .  (5.34)

      Продолжая дальнейшее вычисление конечных разностей, получим:

                                .  (5.35)

      Подставляя  найденные значения коэффициентов  в выражение (5.29), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

        (5.36)

      Введем  новую переменную

                             ,  (5.37)

тогда

                 (5.38)

      С учетом (5.38) вторая интерполяционная формула Ньютона примет вид:

     .  (5.39)

      Остаточный  член второй интерполяционной формулы  Ньютона:

        ,  (5.40)

где - промежуточное значение между узлами интерполирования и точкой .

§5.5. Интерполяционная формула  Лагранжа.

 

      Пусть на отрезке  задана произвольная система точек , в которых известны значения функции . То есть, задана следующая таблица

                     Таблица 5.1.

 

      Установим зависимость  одного ряда чисел от другого и построим новую функцию, которая с определенной степенью точности будет приближена к заданной.

      Построим  многочлен  таким образом, чтобы его значения совпали со значениями функции, заданными в таблице, для тех же аргументов, то есть

                         .  (5.41)

      Лагранж предложил строить многочлен  -й степени в виде:

       (5.42)

     Здесь в каждом слагаемом отсутствует  скобка , которой соответствует коэффициент .

      Найдем  неизвестные коэффициенты , называемые коэффициентами Лагранжа, используя условие (5.41).

      При : .

              .

Следовательно, коэффициент вычисляется по следующей формуле:

.

      При : .

              .

      Следовательно, коэффициент  вычисляется по следующей формуле:

.

      Таким образом, коэффициенты вычисляются по формулам:

.

      С учетом найденных коэффициентов  интерполяционный полином Лагранжа запишется в виде

             .  (5.43)

     Для интерполяционной формулы Лагранжа справедлива оценка погрешности:

             ,  (5.44)

где .

     Пример 5.1. По заданной системе точек

                              Таблица 5.2.

 

построить интерполяционный многочлен Лагранжа второго порядка вида:

.

     Коэффициенты  этого многочлена будут вычислены  по следующим формулам:

      ,

      ,

      .

     Тогда многочлен Лагранжа второго порядка  будет иметь вид:

     

     Учитывая, что таблица приведена для  функции  , вычисленной в узловых точках , сравним погрешность вычислений данной функции и построенного многочлена в контрольной точке :

       и  .

     Погрешность вычислений равна

      .

     Ниже приведены  графики функции и построенного полинома Лагранжа на заданном интервале. Из рисунка 5.1 видно, что многочлен второго порядка обеспечивает достаточно высокую точность построения синусоиды на заданном отрезке .

                            Рис.5.1.

      Если  таблица 5.1, для которой построена  формула Лагранжа, задана для равноотстоящих узлов , то формула Лагранжа упрощается. Обозначим через . Тогда

                   ,

                   ,…,

                   .

      С учетом введенных обозначений формула  Лагранжа запишется так:

Запишем формулу Лагранжа в случае, если :

     Получили  формулу линейной интерполяции (5.25):

                          .

     Здесь - табличные разности первого порядка.

      При получаем формулу квадратичной интерполяции (5.26):

                      .

      Здесь - табличные разности второго порядка, и так далее. Продолжая этот процесс, окончательно получим:

.

      Эта формула называется первой интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.24)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.27) и (5.28).

      Если  обозначить через , то с учетом введенного обозначения, получим:

       , …,

       .

      Тогда формула (5.43) примет вид:

.

      Эта формула называется второй интерполяционной формулой Ньютона (сравните с формулой (5.39)). Для нее справедлива оценка остаточного члена (5.40).

§5.6. Метод наименьших квадратов для  обработки результатов  экспериментов.

 

      Данный  метод относится к классу аппроксимационных  методов. Идея метода состоит в том, чтобы по данным эксперимента построить приближенно функцию, отображающую зависимость ее от , в виде многочлена с тем расчетом, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена

                      .

      Используем  для построения результаты эксперимента:

                     Таблица 5.3

 

      Построить многочлен, значит, определить его коэффициенты . Для этого введем функцию и потребуем, чтобы , где - отклонение функции от экспериментальной в узлах .

Используя вид  , получим:

            .

      Необходимыми  условиями экстремума функции  является равенство нулю ее первой производной по всем переменным . Расписав эти условия, получим СЛАУ вида:

      Запишем систему для определения  в нормальной форме:

           

      Решим систему одним из известных методов и найдем коэффициенты , которые затем подставим в искомый многочлен.

Запишем алгоритм метода наименьших квадратов.

1. Ввести таблицу чисел .
2. Вычислить .
3. Решить любым известным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений и получить коэффициенты искомого многочлена .

      Пример 5.2. По заданной системе точек (см. Табл.5.3) из примера 5.1 построить аппроксимационные многочлены первого и второго порядков методом наименьших квадратов.

     Для построения полинома первого порядка необходимо вычислить следующие суммы

,

и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов  вида:

     Значения  неизвестных коэффициентов равны:

     Тогда искомый многочлен первого порядка  будет иметь вид:

.

     Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной  точке  составляет

.

     Для построения многочлена второго порядка  дополнительно необходимо вычислить следующие суммы

,

и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов  вида:

     Значения  неизвестных коэффициентов равны:

.