Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАМСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИНЖЕНЕРНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ  АКАДЕМИЯ 
 

КАФЕДРА «Прикладной информатики и управления» 

Контрольная работа 

По дисциплине: «Вычислительная математика» 

По теме: «Решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона». 
 
 
 
 

Выполнил: студент (ЦДО)

Шевченко  С.Н.

№спец. 230102 (АСОИУ)

Проверил: Обухова Л.Г. 
 
 
 
 
 

г. Набережные Челны – 2010 г.

 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

 

ВВЕДЕНИЕ 

      В данной работе необходимо рассмотреть  решение систем нелинейных уравнений методом Ньютона.

      Данный  метод был описан Исааком Ньютоном в рукописи «Об анализе уравнениями бесконечных рядов», адресованной в 1669 году английскому математику Исааку Барроу, и в работе «Метод флюксий и бесконечные ряды» или «Аналитическая геометрия». В своих работах Ньютон вводит такие понятия, как разложение функции в ряд, бесконечно малые и флюксии (производные в нынешнем понимании). Указанные работы были изданы значительно позднее: первая вышла в свет в 1711 году благодаря Уильяму Джонсону, вторая была издана Джоном Кользоном в 1736 году уже после смерти создателя. Однако описание метода существенно отличалось от его нынешнего изложения: Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам. Он вычислял не последовательные приближения , а последовательность полиномов и в результате получал приближённое решение . 

 

       1 ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. 

      Нелинейным уравнением называется уравнение вида

             ,  (1.1)

где - нелинейная функция вида:

      - нелинейная алгебраическая функция  (полином или многочлен);

      - тригонометрическая, логарифмическая,  показательная функция;

      - комбинирование этих функций, например .

      Решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение , которое при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество.

      На  практике не всегда удается найти  точное решение. В этом случае решения уравнения (1.1) находят с применением приближенных (численных) методов.

      Приближенным  решением нелинейного уравнения (1.1) называется такое значение , при подстановке которого в уравнение (1.1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности.

      Нахождение  приближенных решений составляет основу численных методов и вычислительной математики. Решение нелинейных уравнений и их систем распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

      На  первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то необходимо определить их количество и затем найти интервалы, в каждом из которых находится только один корень, т.е. отделить корни.

      Первый  способ отделения  корней – графический. Данный метод позволяет определить количество корней на отрезке, но не единственность корня. Если имеет простой аналитический вид, то, исходя из уравнения (1.1), можно построить график функции . Тогда точки пересечения графика функции с осью абсцисс будут являться приближенными значениями корней исходного нелинейного уравнения. Если имеет сложный аналитический вид, то можно представить её в виде разности двух более простых функций . Так как , то выполняется равенство . После построения графиков и задача решения нелинейного уравнения сводится к поиску абсцисс точек пересечения двух графиков, которые и будут являться приближенными значениями корней уравнения (1.1).

      Второй  способ отделения  корней – аналитический. Процесс отделения корней здесь основывается на следующих теоремах:

      1)  если функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

      2)  если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

      3)  если функция является многочленом n-й степени и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на имеется нечетное количество корней. Если на концах отрезка функция меняет знак, то уравнение (1.1) либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

      При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо найти критические точки , т.е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности , на каждом из которых определяется знак производной , где . Затем выделяются те интервалы монотонности , на которых функция меняет знак, то есть выполняется неравенство . На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

      Одним из наиболее распространенных методов уточнения корня на отрезке является метод Ньютона (метод касательных). 

 

       2 МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ). 

      Пусть известно, что нелинейное уравнение  имеет на отрезке единственный вещественный корень . Причем, производные - непрерывны и сохраняют определенный знаки на отрезке . Требуется найти этот корень с заданной точностью . Найдем какое-либо -е приближенное значение корня и уточним его методом Ньютона следующим образом.

      Пусть

             .  (2.1)

      По  формуле Тейлора получим

             .

      Следовательно, .

      Внося эту правку в формулу (2.1), получим рабочую формулу метода Ньютона вида:

               (2.2)

      Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой касательной, проведенной в некоторой точке этой кривой.

      Для определенности положим  и . Выберем начальное приближение , для которого . Проведем касательную к кривой в точке . За первое приближение берем точку пересечения касательной с осью . На кривой определим точку и проведем касательную к кривой в этой точке. Найдем следующее приближение и так далее (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

      Составим  уравнение касательной в точке  :

             .

      Полагая , из уравнения касательной получим итерационную формулу метода Ньютона:

             .

      Если  в качестве начального приближения  взять другой конец отрезка  , то следующее приближение .

      Рассмотрим  метод определения необходимого конца отрезка, выбираемого в качестве начального приближения .

      Теорема. Если и производные не равны нулю и сохраняют определенные знаки на отрезке , то исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , по методу Ньютона, заданному формулой (2.2), можно вычислить единственный корень уравнения с любой степенью точности.

      Доказательство.

      Пусть для определенности при (остальные случаи рассматриваются аналогично).

      Из  неравенства  следует, что , т.е. .

      Докажем, что все приближения расположены правее , т.е. , а значит .

      Доказательство  проведем методом индукции:

      а) ;

      б) предположим, что  ;

      в) докажем, что  .

      Точное  решение уравнения (1.1) можно представить  в виде

             .

      Применяя  формулу Тейлора, получим:

               (2.3)

где .

      Так как по условию теоремы  , то последнее слагаемое в соотношении (2.3) положительное, следовательно,

             .

      Отсюда, в силу того, что  , получим:

             .

      Таким образом доказали, что все последовательные приближения , т.е. находятся правее , и, следовательно .

      Из  соотношения (2.2), учитывая знаки и , следует, что , т.е. последовательные приближения образуют ограниченную монотонную убывающую последовательность, т.е. эта последовательность имеет конечный предел, который обозначим . Перейдем к пределу при в левой и правой частях соотношения (2.2), получим:

             ,

т.е. . Отсюда следует, что , т.е. . А это означает, что последовательные приближения сходятся к корню уравнения (1.1), что и требовалось доказать.

      Вывод: в методе Ньютона в качестве начального приближения выбирается тот конец отрезка , которому отвечает ордината того же знака, что и , т.е. выполняется достаточное условие сходимости

             .  (2.4)

      Следует заметить, что чем больше числовое значение в окрестности корня , тем меньше правка . Поэтому методом Ньютона удобно пользоваться, когда в окрестности искомого корня график функции имеет большую крутизну (т.е. , тогда ). Если кривая вблизи точки пересечения с осью почти горизонтальна (т.е. , тогда ), то применять метод Ньютона для решения уравнения (1.1) не рекомендуется.

      Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, если считать . Тогда достаточное условие сходимости метода простых итераций примет вид:

              для всех  .  (2.5)

      Если  выполнено условие (2.5), то итерационный процесс, заданный формулой (2.2), будет сходиться при произвольном выборе начального приближения .