Решение системы нелинейных уравнений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

                                                                           Факультет Землеустройства и

                                                                                          лесного хозяйства

                                                                           Кафедра Информатики и ИТ

                                                                                  Специальность Землеустройство

                                                             Форма обучения очная

                                                    Курс, группа 301

Дибаева Гульназ Ильгамовна

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

Решение системы нелинейных уравнений

                                                                                                «К защите допускаю»

                                                                                   Руководитель:

                                                                                      Саттарова С.Ф.

    ___________________

                                                                                                                           (подпись)

    «__»_________2012 г.

Оценка при защите

_________________

_________________

              (подпись)

«___»_______2012г.

Уфа 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

   ВВЕДЕНИЕ

   ЗАДАНИЕ

1 Определение интервала существования решения системы нелинейных уравнений……………………………………………………………………………….5

2 Табулирование функции……………………………………………………….…….6

3 Локализация корней…………………………………………………………….…....7

4 Поиск решения…………………………………………………………………..……7

5 Решение системы нелинейных уравнений в программе MathCad………….....…..8

   ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является закрепление практических навыков работы при изучении дисциплины «Информационные технологии», умения работать в MS Excel, MS Word, MathCad.

Основной задачей расчетно-графической работы является решение системы нелинейных уравнений аналитически и графически; выполнение локализации данных, поиска решений и других операций.

ЗАДАНИЕ

1.      Определить (хотя бы приближенно) интервал существования решения системы нелинейных уравнений. Здесь необходимо учитывать вид уравнений, входящих в систему;  область определения каждого из уравнений  и т.п. Иногда применяется подбор начального приближенного решения.

2.      Протабулировать решение уравнения по переменным  х  и  у на выбранном интервале, либо построить график функций  F1(x,у) = C1  и   F2(x,у) = C2 .

3.      Локализовать предполагаемые корни системы уравнений – найти несколько минимальных значений из таблицы табулирования корней уравнения. Либо определить точки пересечения кривых, входящих в преобразованную систему.

4.      Найти корни для преобразованной системы уравнений с помощью надстройки  Поиск решения.

5.      Решить систему нелинейных уравнений в программе MathCad, сравнить полученные данные, со значениями полученными при решении системы уравнений в MS Excel.

1 Определение интервала существования решения системы нелинейных уравнений

Требуется  решить следующую систему нелинейных уравнений .

              Легко видеть, что решением системы уравнений являются точки пересечения окружности   с радиусом  3  и  прямой  у = (4-3x)/8 .

              Данную систему заменим равносильным уравнением

                            (4х2 + 3у2 – 9 )2 + (3х - 8у – 4 )2 = 0             

для которого буду искать решения с помощью надстройки Поиск решения.

              Чтобы убедиться, что система имеет корни, необходимо построить графики.

Для этого в каждом уравнении  выразила У  через Х:

у =  (3– 4х2 )/3       (1)  

у = –  (3 – 4х2)/3    (2)

у = ( 4 – 3* х  ) /8     (3)

Для подкоренного выражения нашла  область определения.

9 – 4 х 2  ≥ 0     =      – 1,5 ≤  х  ≤ 1,5

Строим графики функций для значений Х  от -1,5 до  1,5  с шагом 0,1. Для этого в ячейки B1,C1,D1 написала уравнения, в ячейку А2 записала значение начала интервала -1.5, в ячейку А3 написала формулу =А2+0.1, нажав Enter получила значение -1.4. Ячейку А3 растянула до значения 1,5 – конечное значение интервала. В ячейки В2, С2, D2 ввела формулы: =(-1)*КОРЕНЬ((9-4*А2*А2)/3), =КОРЕНЬ((9-4*А2*А2)/3), =(4-3*А2)/8. Растянула полученные значения в каждом столбце. По полученной таблице построила график (Рисунок 1). 

Рисунок 1. Построение графика

2 Табулирование функции

Для выполнения этого задания на интервале ячеек А37:А43 ввела значения Х от -1,5 до 1,5 с шагом 0,5, в ячейки В36:Н36 ввела значения У с аналогичным интервалом. Затем в ячейку В37 внесла формулу =(((4*$А37^2+3*B$36^2-9)^2)+((3*$A37-8*B$36-4)^2)) и за черный крестик растянула до Н43. Результат табулирования отражен на рисунке 2.

        Рисунок 2. Табулирование функции.

3 Локализация корней

Локализацию корней (в данном случае нахождение минимальных значений) проводила по результатам табулирования функции. Для этого в ячейку А47 ввела название функции min, в В2 ввела саму функцию: =МИН(В37:В43) и нашла минимальное значение из указанного интервала, аналогично нашла минимальные значения для интервалов С37:С43, D37:D43, E37:E43, F37:F43, G37:G43, H37:H43.

Рисунок 3. Локализация корней.

4 Поиск решения

Для выполнения этого задания сделала табличку «Надстройка. Поиск решения». В ячейку Е54 ввела формулу, как показано на рисунке 5, в ячейку D54 значение У, равное -1( являющейся координатой минимального значения 0.25, найденного при локализации корней) (рисунок 4). Затем открыла Поиск решения во вкладке Сервис. В качестве целевой ячейки выбрала Е54, равной минимальному значению, изменяя ячейку С54. Ограничения для ячейки С54 равны интервалу значений Х, найденных в первом задании. Далее нажала кнопку Выполнить и получила значение Х равное -1, как показано на рисунке 5.

Рисунок 4. Вкладка Поиск решения

Рисунок 5. Результат Поиска решения

5 Решение системы нелинейных уравнений в программе MathCad.

Решила систему уравнений с использованием блока уравнений и функции Find выполнив следующие действия:

      задала начальные значения переменных равными нулю (рисунок 1);

      ввела служебное слово Given и систему уравнений, преобразовав ее к виду, показанному на рисунке 6. Использовала в системе логический знак равенства из панели «Булевый»;

      ввела функцию Find(х,у), знак равенства и щелкнула по свободному месту в рабочем документе. Результат появился рядом, как показано на рисунке 1;

      выполнила графическое решение системы уравнений на отрезке от -1,5  до 1,5, с шагом равным 0,5;

сравнила полученный ответ со значениями, полученными при решении этой же системы уравнений в программе MS Ecxel. Ответы совпадают.

Рисунок 6 Решение системы нелинейных уравнений с помощью блока Given

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе проделанной работы выявила для себя новую функцию  в MS Excel – это решение системы нелинейных уравнений с помощью построения графиков, табулирования функции, локализации корней. Аналогичную работу проделала в программе MathCad. Ход работы оформила в MS Word.

6