Методы решения функциональных уравнений

     МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Государственное образовательное учреждение высшего  профессионального образования  «Дальневосточная государственная  социально-гуманитарная академия»

Кафедра высшей математики и методики обучения математике 
 
 
 

Курсовая  работа

Тема: «Методы решения функциональных уравнений». 
 

                                                                                     Выполнила: студентка 3 курса ФМИТТ

                                                                                                Специальности «математика» группы 1271

                                                                        Клинцова Елизавета Андреевна

                                                                                     Руководитель: старший преподаватель

                                                                           Кириллова Дина Александровна 
 
 
 
 

Биробиджан, 2011

Содержание:

Введение………………………………………………………………………… 3

§1. Метод подстановок………………………………………………………….5

§2. Группы и функциональные уравнения…………………………………….8

§3. Матрицы и дробно-линейные фукции…………………………………….14

§4. Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений…………………………………………………...17

§5. Рекуррентные соотношения………………………………………………..21

Задачи для  самостоятельного решения………………………………………..23

Заключение……………………………………………………………………...24

Используемая литература……………………………………………………....25  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение 

     Функциональное  уравнение - это уравнение, в котором неизвестными являются функции (одна или несколько).

     Некоторые функциональные уравнения рассматривались  в школьном курсе это f(x)=f(-x), f(-x)= -f(x), f(x+T)=f(x), которые  задают такие свойства функций, как чётность, нечётность, периодичность.

     Задача  решения функциональных уравнений  является одной из самых старых в  математическом анализе. Они появились  почти одновременно с зачатками  теории функций. Первый настоящий расцвет  этой дисциплины связан с проблемой  параллелограмма сил. Ещё в 1769 году Даламбер свёл обоснование закона сложения сил к решению функционального  уравнения 

                                                        

     То  же уравнение и с той же целью  было рассмотрено Пуассоном в 1804 году при некотором предположении  аналитичности, между тем как в 1821 году Коши нашёл общие решения этого уравнения, предполагая только непрерывность f(x).

     Известная формула неевклидовой геометрии  для угла параллельности была получена Лобачевским  из функционального  уравнения 

      , которое он решил методом, аналогичным методу Коши.

     Ряд геометрических задач, приводящих к  функциональным уравнениям, рассматривал и английский математик Баббедж .

     В классе разрывных функций могут  быть и другие решения. Функциональные уравнения ранее рассматривались  Лежандром и Гауссом при выводе основной теоремы проективной геометрии  и при исследовании гауссовского закона распределения вероятностей.

     К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения  в конечных разностях. Для функциональных уравнений, не сводящихся к дифференциальным или интегральным, известно мало общих методов решения, а в общем случае не существует единого алгоритма решения функциональных уравнений.[1]                                                                         

     Цель: Изучить некоторые методы решений функциональных уравнений.

     Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

1. Изучить литературу по данной теме;
2. Рассмотреть методы решений функциональных уравнений;
3. Научиться решать функциональные уравнения;
4. Составить задания для самостоятельного решения.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     §1. Метод подстановок

     Этот  метод заключается в том, что, применяя вместо х (или у), различные подстановки и комбинируя полученные уравнения с исходным, получаем (обычно путём исключения) алгебраическое уравнение относительно искомой функции. Приведем примеры решения функциональных уравнений методом подстановки.[1]

     Задача 1. Найти функцию f(x),определенную при всех действительных х ≠ а, х ≠ 0 и удовлетворяющую уравнению

                                                                      (1)

     Если  такая функция существует, то вместо х можем подставлять в уравнение (1) любое выражение, не выводящее за пределы области определения функции. Заменяя х на (а-х), получим уравнение

                                                                       (2)

     которое содержит те же самые функции Решая (1) и (2) как систему относительно известных , получим . Проверкой убеждаемся, что эта функция удовлетворяет условию:

     Сущность  метода, использованного при решении  задачи 1, заключается в следующем. Предполагаем, что уравнение имеет  решение. Применяем к переменным, входящим в функциональное уравнение, некоторые подстановки. Получаем систему  уравнений, одним из неизвестных  которой является искомая функция. После решения системы непосредственной проверкой необходимо убедиться, что найденная функция удовлетворяет условиям задачи.

     Основная  трудность при использовании  этого метода состоит в подборе  удачных подстановок.

     В первую очередь изложим приемы решения некоторых уравнений, в которых одно из двух переменных   встречается  и самостоятельно, т.е. вне функции .[2]

     Задача 2. Решить функциональное уравнение

                                (3)

     Если  положим  , то наряду с . При тоже не получаем желательного результата. Произведем последовательно подстановки

       Получим систему уравнений

                      

     где . Исключая (для этого достаточно из суммы первых двух уравнений вычесть третье), получим

                              

     Непосредственной  проверкой убеждаемся, что только при  функция      удовлетворяет уравнению (3). Итак, является единственным решением  уравнения (3).

     Задача 3. Решить функциональное уравнение 

      

     Пусть , тогда .

     Пусть , получаем , проверкой убеждаемся, что эта функция удовлетворяет исходному уравнению при любом С.

     Ответ:

      

     Пусть  , тогда

     Пусть , получаем , проверкой убеждаемся, что эта функция удовлетворяет исходному уравнению при любом С.

     Ответ:

      

     Пусть , тогда

     Пусть , тогда , при любом С.

     Ответ:

      

     Пусть , тогда

      

     , проверкой убеждаемся, что это уравнение удовлетворяет исходному уравнению.

     Ответ:

     Задача 4. Решить уравнение 

     Заметим, что при  исчезает член, содержащий

     Выполняя  последовательно замены  , получим систему уравнений     

     где . Отсюда .

     Проверка  показывает, что найденное выражение  является решением задачи 4 при любых  а и b. 
 
 

       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§2. Группы и функциональные уравнения

     В задаче 1, §1, в уравнении  под знаком неизвестной функции f стоят функции . В результате замены  x на получено еще одно уравнение, содержащие те же функции и . Функции и образуют группу относительно композиций функций. Понятие группы позволяет в ряде случаев выбрать целесообразные подстановки для решения функциональных уравнений.[3]

     Задача 1. Найти функцию , , удовлетворяющую уравнению , где а- постоянная, отличная от 0.                 (1) Нетрудно проверить, что выражения х,    вместе с   составляют группу с таблицей:

 

     Здесь . Получим систему 

     Из  нее находим  . Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет уравнению.

     Иногда  в функциональном уравнении выражения, стоящие под знаком неизвестной функции, являются значениями элементов некоторой группы от одной и той же функции . После замены на х получаем уравнение, которое решается изложенным выше методом.

     Задача 2. Решить уравнение                  (2) На множестве определена операция композиции, если рассматривать числа 1 и 0 как функции, тождественно равные константе. Таблица умножения здесь имеет вид:

 

     Из  таблицы видно, что для элементов 1 и 0 не существует обратных, т.е. данное множество функций не является группой. В алгебре множества с ассоциативной  операцией называют полугруппами. Полугруппы в отдельных случаях можно  применить к решению функциональных уравнений.