Методы решения функциональных уравнений

Для последовательности чисел Фибоначчи очень трудно отыскать выражения для f(n) по значениям хотя рекуррентное соотношения вида весьма просто. Рассмотрим общий метод нахождения функции из рекуррентного соотношения вида , где и – постоянные коэффициенты, не равные одновременно 0, .

Обозначим через  корни квадратного уравнения . Возможны два случая:

1. , получаем                (22)
2. , получаем       (23)

Проверкой нетрудно убедиться, что полученные выражения  удовлетворяют условию задачи.[2]

Задача 1. Найти  выражение   для n-го числа Фибоначчи. 

Составим уравнение   (здесь ). Его корни . Тогда, согласно формуле (22),  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задачи  для самостоятельной  работы

1. Решить функциональные уравнения:

а)

b)

c)

d)

2. Найти функцию, определенную при и удовлетворяющую уравнению

3. Решить функциональное  уравнение                          в классе функций , для которых

4. Найти функцию , определенную при и удовлетворяющую уравнению  
5. Найти функцию , определенную и удовлетворяет уравнению

6. Решить в классе непрерывных функций следующие уравнения:

7. Найти решение  функциональных уравнений в классе  функций, имеющих производные:

  Решить функциональные уравнения

    Заключение

     В данной курсовой работе были рассмотрены  несколько способов решения функциональных уравнений. Каждый метод позволяет  решить функциональное уравнение без  столь существенных ограничений (условия  непрерывности, монотонности, и др.), решение является достаточно элементарным. Однако прогрессии, да и другие последовательности, зачастую задаются с помощью рекуррентных соотношений, т. е. с помощью формулы, которая выражает n-й член последовательности через предыдущие. Метод подстановок, групп, матриц тесно похожи между собой, это видно в решениях задач. По каждому методу решались функциональные уравнения, и были представлены функциональные уравнения для самостоятельного решения.

    Список  литературы 

1. Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999
2. Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 стр.
3. Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, стр. 116 – 120
4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, 1997. – 160 стр.
5. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах: том 1. – М.: Наука, 1968, cтр. 157 – 162