Методы решения функциональных уравнений

     Делая в уравнении (2) последовательно замены , получим систему 

     Из  двух последних уравнений имеем  . Теперь из двух первых уравнений найдем: . Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет уравнению (2).

     Задача 3. Найти функцию , определенную на множестве действительных чисел, отличных от 0,1,-1, и удовлетворяющую уравнению

                                                                                       (3) Выражения , , стоящие поз знаком неизвестной функции , являются элементами группы, заданной таблицей:

 

    Заменяя последовательно  на , , , получим систему 

    Последовательно исключая неизвестные , имеем  

    Рассуждения вытекали из предположения, что решение  уравнения существует. Подставляя в (2) полученную функцию, убедимся, что она удовлетворяет уравнению.

    Задача 4.Решить уравнение в классе функций, определенных на R\: 

 

     

     

     

     

     

     

     

    Ответ:   на R\

    Задача 5. Найти , если 

     Из  таблицы видно, что подобрать  удачные подстановки не получается, это означает, что уравнение решений  не имеет.

     Ответ: нет решений.

     Задача 6. Решить функциональное уравнение

       , где n- нечетное.

     Заменим , .

     

    Получим:

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§3. Матрицы и дробно-линейные функции

    В большинстве задач §2 под знаком неизвестной функции стояли дробно-линейные выражения вида . Такие дроби полностью определяются заданием таблицы, составленной из коэффициентов a,b,c,d.

    При решении функциональных уравнений  необходимо использовать композицию функций .

    Функции ставится в соответствие матрица  

      , функции - матрица

    Изложенные  сведения о матрицах позволяют не только упростить нахождение композиции дробно-линейных функций, но и указать  новые методы решения некоторых  функциональных уравнений.

    Свойства  матриц позволяет решить матричное  уравнение вида , если существует матрица , обратная . Предполагая, что уравнение имеет решение, умножаем обе его части с лева на . Получим ; . Аналогично решается уравнение . Здесь умножаем обе части уравнения на справа. Получим .[2]

    Задача 1. Найти функцию f, определенную при , удовлетворяющую уравнению .                      (4)

Решаем  матричное уравнение  , где ;   Матрица поэтому применим к уравнению (4) подстановку .Таким образом, из уравнения (4) находим

                                                                          (5)

Исключив  из системы, составленной из уравнений (4) и (5), , получаем                                                                                     (6)

Из (4) видим, что  Подстановка сохранила эти ограничения. Кроме того, . Положим . Так как , то Отсюда. Заменяя , из (6) получим , Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет условию задачи.

Задача 2. Решить функциональное уравнение

                                                                             (7)

где функция определена на множестве R.

,

Следовательно, функция  является подстановкой и переводит уравнение (7) в уравнение                                                   (8)

Производим  замену , получаем уравнение

                                                                  (9)

Из системы (8) и (9) получаем

Проверка  показывает, что эта функция удовлетворяет  условию задачи.

Задача 3. Решить функциональное уравнение

                                      (10)

где функция  определена на множестве .

, ,

Подстановка переводит выражения друг в друга. Выполняя эту подстановку дважды, получим систему уравнений 

.

После замены окончательно получим

Эта функция  удовлетворяет задаче 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§4. Применение элементов математического анализа к решению функциональных уравнений

    При решении уравнений Коши существенно  использовались основные понятия математического  анализа такие, как предел последовательности и функции, непрерывность, дифференцируемость и др. Рассмотрим некоторые общие  методы решения важнейших классов  функциональных уравнений, основанные на этих понятиях.[5]

4.1. Предельный переход

Задача 1. Решить в классе непрерывных функций  уравнение 

, где .                                                                (11)

Заменив x на , получим                                      (12)

,

,

                                                 (13)

Сложив все  уравнения, начиная с (12), получим

                    (14)

Так как  функция  непрерывна, то при любом фиксированном

.

. Из (11) . Тогда .

Левая часть равенства (14) не зависит от , поэтому существует ее предел при . Переходя к пределу в равенстве (14), при имеем

.                                         (15)

Правая  часть (15) является суммой трех бесконечно убывающих прогрессий

 

 

 

Итак , что и подтверждается проверкой.

Задача 2. Решить функциональное уравнение

,,в классе непрерывных функций (16)

Выполнив  замену x на  , получим      (17)

Складывая (16) с уравнением (17), умноженным на , получим

  . Найдем подстановку, переводящую в . Для этого положим . Отсюда . Выполнив раз подстановку , получим систему уравнений, из которой народим

.

Отсюда  при  , что и подтверждается проверкой.

4.2. Дифференцирование

    В некоторых случаях для нахождения решения функционального уравнения  целесообразно продифференцировать  обе части уравнения, если, конечно  производная существует. В результате получим функциональное уравнение, которое содержит и производную  неизвестной функции. Решим это  уравнение относительно производной. Тогда неизвестная функция является одной из первообразных для найденной  производной. Этот метод уже применялся при решения уравнения Коши в классе дифференцируемых функций.[5]

Задача 3. Найти в классе функций, имеющих непрерывные производные, решение уравнения .                                               (18)

Продифференцируем уравнение (18) и после сокращения получим

 . Это уравнение можно решить методом предельного перехода. Выполнив подстановку x на , получим цепочку равенств

 

Ввиду непрерывности , при , имеем

 

Итак, . Первообразная функция . Подставив в (18) , получим . Кроме того , т.е. . Легко проверить, что удовлетворяет условию при произвольном При решении ряда задач к желаемому результату приводит повторное дифференцирование обоих функциональных уравнений.

Задача 4. В классе функций, имеющих непрерывные вторые производные, найти решения уравнения .                                  (19)

Дважды продифференцируем  обе его части. Имеем  
                                               (20)

                                                                                           (21)

Заменяя последовательно  n раз , получим из равенства (21) 

При имеем 

Первообразная функция Подставляя в (20) получим . Кроме того, Рассуждая аналогично, получим

 

Легко проверить, что если удовлетворяет этому уравнению при любой константе k. Таким образом, решением задачи являются функции и только они. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§5. Рекуррентные соотношения

При задании  последовательности рекуррентным соотношением, естественно, возникает задача об отыскании формулы для n-го члена, т.е. выражения для функции f(n). Фактически речь идет о решении функциональных уравнений, где неизвестные функции определены на множестве натуральных чисел.

Если запишем  рекуррентное соотношение для последовательности чисел Фибоначчи в виде f(n)=f(n-1)+f(n-2), получим привычную формулу функционального уравнения. Решив его при условии, что f(1)=f(2)=1, найдем формулу общего числа последовательности.

Укажем некоторые  приемы решения функциональных уравнений  натурального аргумента, имеющие вид рекуррентных соотношений.

Один из самых  распространенных методов нахождения решений заключаются в том, что, вычисляя значение искомой функции  от нескольких переменных первых чисел  натурального ряда (при этом используется  рекуррентное соотношение), пытаются заменить вид искомой функции, а затем  убеждаются в справедливости догадки  с помощью метода математической функции. Именно так выводятся формулы  для n-го члена арифметической  и геометрической прогрессий.