Сопромат

      3. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P₃, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению s_B , т.е. при дальнейшем увеличении силы P происходит разрушение заданной системы;

      4. Рассматривая систему (рис. 10.10, а) при отсуствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и относительные удлинения элементов системы, и внешней силы P = P₄, при котором в ее элементах напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению s_B .

Рис. 10.10

Решение

      1. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P₁, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости. Заданная система (рис. 10.10, а) один раз статически неопределима. Применяя метод сечений (рис. 10.10, б) и составляя уравнения равновесия статики, последовательно можем определить:

или

.   (10.38)

      Согласно деформированной схеме, изображенной на рис. 10.10, а, из геометрических соображений, уравнения для определения относительных деформаций записываются в виде:

.    (10.39)

      С учетом , и принимая во внимание, что на первом этапе нагружения все элементы заданной системы деформируются согласно закону Гука, т.е. , получим:

.  (10.40)

      С учетом (10.40) из (10.38) и (10.39) можно получить следующую замкнутую систему уравнений относительно усилий N₁ и N₂:

      Откуда определяются:

.  (10.41)

      Для выражения напряжения в среднем в элементах заданной системы имеем:

   (10.42)

      Откуда следует, что s⁽²⁾ > s⁽¹⁾. Следовательно, в процессе нагружения сначала средний стержень переходит в пластическую стадию деформирования, а затем боковые стержни, т.е. при всех нагружения средний стержень, вплоть до стадии разрушения заданной системы, будет наиболее напряженным.

      Принимая в (10.42), что s⁽²⁾ = s_T и P = P₁, окончательно получим:

кН.

      Абсолютные удлинения стержней принимают значения:

      Относительные удлинения стержней принимают значения:

      2. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P₂, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Физические уравнения взамен закона Гука в случае, когда стержни переходят в пластическую стадию деформирования, т.е. при s_T Ј s Ј s_B , e_T Ј e Ј e_B , в данном случае записываются в виде:

,   (10.43)

которое представляет собой уравнение прямой линии, описывающей диаграмму деформирования в области пластических деформаций (рис. 10.10, в).

      В начале по очевидным соотношениям определяется значение деформаций e_T , соответствующее началу пластической стадии деформирования стержней и модуля деформаций в пластической стадии их деформирования:

кН/м².

      Заметим, что на данном этапе нагружения, т.е. когда P₁ Ј P Ј  Ј P₂, боковые элементы заданной системы деформируются упруго, а средний элемент - будет находиться в пластическом состоянии.

      Учитывая, что при P = P₂ будем иметь s⁽²⁾= s_T , e⁽²⁾= e_T , последовательно определим значения усилий и абсолютное удлинение в боковых стержнях при их переходе в пластическую стадию деформирования:

кН;

м.

      Учитывая выражения (10.39) и (10.43) определяется значение абсолютного и абсолютного удлинения, а также усилия в среднем стержне, в момент перехода боковых стержней в пластическую стадию их деформирования:

м;

м;

кН.

      Далее из уравнения равновесия (10.38) вычисляется величина внешней силы P = P₂:

кН.

      3. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P₃, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению s_B , т.е. при дальнейшем увеличении силы P происходит разрушение заданной системы. Сначала вычисляем значения удлинений в боковых стержнях, при достижении в среднем стержне предельных напряжений и деформаций s⁽²⁾= s_B , e⁽²⁾ = e_B .

      Учитывая, что получим:

      Таким образом, к моменту разрушения среднего стержня (s⁽²⁾= = s_B , e⁽²⁾ = e_B ) боковые стержни также находятся в пластической стадии деформирования. Напряжения в боковых стержнях, в момент разрушения среднего стержня, принимают значения:

 

кН/м².

      Для определения величины внешней силы P = P₃, т.е. значения силы в момент разрушения среднего стержня из уравнения равновесия (10.38) имеем:

кН.

      Как показывают результаты расчетов, для перехода среднего стержня в пластическую стадию деформирования необходима была внешняя сила P = P₁ = 119,5 кН, а для его разрушения - P = P₃ = = 200,97 кН.

      На основании полученных результатов можно заметить, что если бы мы ограничивались только учетом упругой стадии работы конструкции, т.е. P Ј P₁, то несущая способность заданной системы оценивалась бы как P = P₁ = 119,5 кН.

      Как показали расчеты, учет пластической стадии работы позволил выявить дополнительные резервы несущей способности заданной системы, т.к. величина разрушающей силы заданной системы в действительности равна P = P₃ = 200,97 кН.

      В заключении определим величины абсолютных удлинений стержней в момент разрушения среднего стержня:

м;

м.

      Легко определить во сколько раз абсолютные удлинения стержней возросли за счет возникновения пластических деформаций по отношению к их абсолютным удлинениям в момент перехода среднего стержня от упругой к пластической стадии деформирования:

раз;

раз.

      4. Рассматривая систему (рис. 10.10, а) при отсутствии среднего стержня в процессе ее нагружения, определить абсолютные и относительные удлинения элементов системы, и внешней силы P = P₄, при котором в ее элементах напряжения достигают значения, равного временному сопротивлению s_B . Исключая средний стержень, система превращается из статически неопределимой в статически определимую. Применяя метод сечений, легко установить, что уравнения равновесия в данном случае принимают следующий вид:

.    (10.44)

      В конце упругой стадии работы элементов заданной системы имеем, что s⁽¹⁾= s_T , e⁽¹⁾= e_T . С учетом данного обстоятельства последовательно определим значение усилия N₁, абсолютное удлинение стержней и величину силы P = P₁, соответствующих концу упругой стадии работы данной системы:

кН;

м;

кН.

      При дальнейшем нагружении системы, то есть при P > P₁ = = 86,6 кН, элементы данной системы переходят в пластическую стадию деформирования. Последовательно определим значение внутренних усилий, абсолютных удлинений и величину разрушающей силы P = P₂, при достижении напряжений и деформаций предельных значений. Т.е. при s⁽²⁾= s_B , e⁽²⁾= e_B :

кН;

м;

кН.