Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Октября 2009 в 18:09, Не определен
Современные базовые учебники по сопротивлению материалов, теории упругости, пластичности 13, 5, 7 изложены во внушительных объемах и в основном ориентированы на подробном изложении теории. Это обстоятельство усложняет процесс самостоятельного изучения предмета и послужило побудительной причиной подготовки настоящего издания.
В книге в доступной, но достаточно строгой форме изложены основные разделы классического курса сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, которые сопровождаются подробными примерами расчетов, что несомненно должно облегчить процесс самостоятельного освоения предмета.
Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных интегрирования.
Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями Mx (z) и E Ix (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования уравнения (5.19) по всей длине балки:
интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота
,
интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов
.
Здесь C1 и С2 произвольные постоянные интегрирования должны быть определены из граничных условий.
Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно применить метод начальных параметров, суть которого в следующем.
Рис. 5.24
Рассмотрим балку (рис. 5.24) с постоянным поперечным сечением, нагруженную взаимоуравновешенной системой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикальные перемещения сечений балки в положительном направлении оси y). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось z проходила вдоль оси балки, а ось y была бы направлена вверх. На балку действуют: момент М, сосредоточенная сила Р и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 5.24).
Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вносимые в уравнение упругой линии, различными типами внешних силовых факторов. Для этого составим выражение изгибающих моментов для каждого из пяти участков заданной системы.
Участок I ( 0Ј z Ј l1 ) Mx (z) = 0.
Участок II (l1 Ј z Ј l2 ) Mx (z) = M.
Участок III (l2 Ј z Ј l3 ) Mx (z) = M + P (z - l2).
Участок IV (l3Ј z Ј l4) Mx (z) = M + P (z - l2) + .
Уч-ток V(l4 Ј z Ј l5) Mx (z) = M + P (z - l2) + .
На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.
Для вывода обобщенного выражения изгибающего момента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z > li и игнорировать при z Ј li . На основании этого, обобщенное выражение момента Mx (z) для произвольного сечения z может быть записано единой формулой:
Mx (z) = M + P (z - l2) + -
. (5.20)
Подставляя (5.20) в (5.19) и дважды интегрируя, получим выражение для прогибов:
E Ix y (z) = C0 + C1 z + +
+ - . (5.21)
Постоянные интегрирования C0 и C1 по своей сути означают:
C0 = E Ix y (0) , C1 = (5.22)
и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий окончательный вид:
E Ix y (z) = E Ix y0 + z + + +
+ - . (5.23)
Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:
E Ix j (z) = + +
+ - . (5.24)
Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба y0 , угла поворота j0 в начале системы координат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому данный метод и называется методом начальных параметров.
5.8. Пример расчета (задача № 10)
Для схем стальных балок I и II, изображенных на рис. 5.25 и 5.26, определить методом начальных параметров углы поворота сечения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 2Ч108 кН/м2. Поперечные сечения балок: схема I - круглое диаметром d = 0,24 м, схема II - квадратное со стороной a = 0,2 м.
Решение
Схема I.
1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.25)
Sy = 0, R0 + qЧc - P = 0,
R0 = -qЧc + P = -10Ч1,4 + 12 =
SM0 =0, ,
M0 = q c (b + 0,5 c) - M - P (
- 20 - 12Ч(1,8 + 1,4 + 1,2) =
Рис. 5.25
Для проверки правильности определения опорных реакций составим уравнения равновесия:
еMD = 0,
M0 + R0Ч4,4 + qЧcЧ(0,5Чc + e)
+ 10Ч1,44Ч(0,5 1,4 + 1,2) + 20 = 46,6 - 46,6
Реакции найдены верно.
2. Применение метода начальных параметров. Используя уравнение (5.23), для нашего случая запишем:
E Ix y (z) = E Ix y0 + z + -
- + .
Здесь
M0 и Q0 - момент и реакция в заделке
(т.е. в начале координат). Знак Ѕz > a означает, что слагаемое,
после которого он стоит, нужно учитывать
при z > a
и не надо - при z Ј a.
Начальные параметры имеют значения: y0 = 0; j0 = 0;
M0 = -37,8
кНЧм,
R0 =
= -2 кН
(знак реакций определяется по знаку перемещения
вызванного этими усилиями). Тогда выражение
для определения прогибов будет иметь
вид:
E I y (z) = -
-
+
+
.
Соответственно выражение для определения углов поворота будет:
=-37,8Чz - z2 +
-
+
+ 20Ч(z - 3,2)
.
С помощью этих выражений определяем yD и jD:
кНЧм3.
кНЧм2.
Жесткость сечения при Е = 2Ч108 кН/м2 равна: