Сопромат

      Если балка имеет n - конечное число участков, из 2n числа граничных условий получим 2n алгебраических уравнений относительно 2n постоянных интегрирования.

      Если момент и жесткость являются непрерывными по всей длине балки функциями M_x (z) и E I_x (z), то решение может быть получено, как результат последовательного интегрирования уравнения (5.19) по всей длине балки:

интегрируя один раз, получаем закон изменения углов поворота

,

интегрируя еще раз, получаем функцию прогибов

.

      Здесь C₁ и С₂ произвольные постоянные интегрирования должны быть определены из граничных условий.

      Если балка имеет постоянное поперечное сечение по длине, то для определения функций прогибов и углов поворота удобно применить метод начальных параметров, суть которого в следующем.

Рис. 5.24

      Рассмотрим балку (рис. 5.24) с постоянным поперечным сечением, нагруженную взаимоуравновешенной системой положительных силовых факторов (т.е., вызывающих вертикальные перемещения сечений балки в положительном направлении оси y). Начало системы координат поместим на левом конце балки так, чтобы ось z проходила вдоль оси балки, а ось y была бы направлена вверх. На балку действуют: момент М, сосредоточенная сила Р и равномерно распределенная на участке бруса нагрузка интенсивностью q (рис. 5.24).

      Задача заключается в том, чтобы выявить особенности, вносимые в уравнение упругой линии, различными типами внешних силовых факторов. Для этого составим выражение изгибающих моментов для каждого из пяти участков заданной системы.

Участок I ( 0Ј z Ј l₁ )    M_x (z) = 0.

Участок II (l₁ Ј z Ј l₂ )   M_x (z) = M.

Участок III (l₂ Ј z Ј l₃ )   M_x (z) = M + P (z - l₂).

Участок IV (l₃Ј z Ј l₄)    M_x (z) = M + P (z - l₂) +  .

Уч-ток V(l₄ Ј z Ј l₅) M_x (z) = M + P (z - l₂) +  .

      На участке V, где распределенная нагрузка отсутствует, при выводе выражения для изгибающего момента, с целью сохранения рекуррентности формул для разных участков была приложена взаимоуравновешенная распределенная нагрузка.

      Для вывода обобщенного выражения  изгибающего момента введем следующий оператор , означающий, что члены выражения, стоящее перед ним следует учитывать при z > l_i и игнорировать при z Ј l_i . На основании этого, обобщенное выражение момента M_x (z) для произвольного сечения z может быть записано единой формулой:

M_x (z) = M + P (z - l₂)  + -

.     (5.20)

      Подставляя (5.20) в (5.19) и дважды интегрируя, получим выражение для прогибов:

E I_x y (z) = C₀ + C₁ z + +

+ - .    (5.21)

      Постоянные интегрирования C₀ и C₁ по своей сути означают:

C₀ = E I_x y (0) , C₁ =  (5.22)

и определяются из граничных условий на левом конце балки. Тогда формула для прогибов примет следующий окончательный вид:

E I_x y (z) = E I_x y₀ +  z + + +

+ - .    (5.23)

      Соответственно, формула для углов поворотов сечений балки определяется из (5.23) простым дифференцированием:

E I_x j (z) =  + +

+ - .    (5.24)

      Как видно, для определения прогибов и углов поворота балок данным методом начальных параметров достаточно знание лишь значений прогиба y₀ , угла поворота j₀ в начале системы координат, т.е. так называемых начальных параметров. Поэтому данный метод и называется методом начальных параметров.

5.8. Пример расчета (задача № 10)

      Для схем стальных балок I и II, изображенных на рис. 5.25 и 5.26, определить методом начальных параметров углы поворота сечения и прогиб в точке D. Модуль упругости Е = 2Ч10⁸ кН/м². Поперечные сечения балок: схема I - круглое диаметром d = 0,24 м, схема II - квадратное со стороной a = 0,2 м.

      Решение

      Схема I.

      1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.25)

Sy = 0, R₀ + qЧc - P = 0, R₀ = -qЧc + P = -10Ч1,4 + 12 = -2 кН;

SM₀ =0, ,

M₀ = q c (b + 0,5 c) - M - P (b + c + e) = 10Ч1,4Ч(1,8 + 0,5Ч1,4) -

- 20 - 12Ч(1,8 + 1,4 + 1,2) = -37,8 кНЧм.

Рис. 5.25

      Для проверки правильности определения опорных реакций составим уравнения равновесия:

еM_D = 0, M₀ + R₀Ч4,4 + qЧcЧ(0,5Чc + e) + M = -37,8 - 2Ч4,4 +

+ 10Ч1,44Ч(0,5 1,4 + 1,2) + 20 = 46,6 - 46,6 = 0.

      Реакции найдены верно.

      2. Применение метода начальных параметров. Используя уравнение (5.23), для нашего случая запишем:

E I_x y (z) = E I_x y₀ +  z + -

- + .

      Здесь M₀ и Q₀ - момент и реакция в заделке (т.е. в начале координат). Знак Ѕ_z > a означает, что слагаемое, после которого он стоит, нужно учитывать при z > a и не надо - при z Ј a. Начальные параметры имеют значения: y₀ = 0; j₀ = 0; M₀ = -37,8 кНЧм, R₀ =   
= -2 кН (знак реакций определяется по знаку перемещения вызванного этими усилиями). Тогда выражение для определения прогибов будет иметь вид:

E I y (z) = - - + 
  + .

      Соответственно выражение для определения углов поворота будет:

=-37,8Чz - z² + - +  
   + 20Ч(z - 3,2) .

      С помощью этих выражений определяем y_D и j_D:

             кНЧм³.

кНЧм².

      Жесткость сечения при Е = 2Ч10⁸ кН/м² равна:

кНЧм².