Сопромат

5.5. Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе

      В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

      Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки строго говоря не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) оказывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плоских сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точностью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряжений s применяют ту же формулу (5.10).

      Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напряжений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис. 5.21, а).

Рис. 5.21

      Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 5.21, в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности касательных напряжений, получим, что касательные напряжения в поперечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 5.21, б). С учетом данного обстоятельства и из допущения о том, что касательные напряжения по площади bЧdz распределены равномерно, используя условие еz = 0, получим:

N^* - N^* - d N^* + tЧ bЧdz = 0 ,

откуда

.    (5.12)

где N^* - равнодействующая нормальных сил sЧdF в левом поперечном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади F ^* (рис. 5.20, г):

.    (5.13)

      С учетом (5.10) последнее выражение можно представить в виде

,   (5.14)

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 5.21,б эта область заштрихована). Следовательно, (5.14) можно переписать в виде

,

откуда

.    (5.15)

      В результате совместного рассмотрения (5.12) и (5.15) получим

,

или окончательно

.    (5.16)

      Полученная формула (5.16) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

      Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из состава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 5.21, г), таким образом, чтобы вертикальная площадка являлась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол a относительно горизонта. Принимаем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz, т.е. по оси z; по вертикальной оси - dy, т.е. по оси у; по оси х - равный ширине балки.

      Так как вертикальная площадка выделенного элемента принадлежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения s на этой площадке определяются по формуле (5.10), а касательные напряжения t - по формуле Д.И. Журавского (5.16). С учетом закона парности касательных напряжений, легко установить, что касательные напряжения на горизонтальной площадке также равны t. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипотезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают давления друг на друга.

      Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через s_a и t_a , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF, для вертикальной и горизонтальной площадок будем иметь dF sin a и dF cos a, соответственно.

      Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 5.21, г), получим:

      ,

откуда будем иметь:

;

.

      Следовательно, окончательные выражения напряжений на наклонной площадке принимают вид:

      Определим ориентацию площадки, т.е. значение a = a₀ , при котором напряжение s_a принимает экстремальное значение. Согласно правилу определения экстремумов функций из математического анализа, возьмем производную функции s_a от a и приравняем ее нулю:

.

      Предполагая a = a₀ , получим:

.

      Откуда окончательно будем иметь:

.

      Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называемых главными, а сами напряжения - главными напряжениями.

      Сопоставляя выражения t_a и , имеем:

,

откуда и следует, что касательные напряжения на главных площадках всегда равны нулю.

      В заключение, с учетом известных тригонометрических тождеств:

и формулы ,

определим главные напряжения, выражая из через s и t:

.

      Полученное выражение имеет важное значение в теории прочности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.

5.6. Пример расчета (задача № 9)

      Для составной балки, имеющей поперечное сечение, показанное на рис. 5.22, требуется:

      1. Определить расчетные параметры поперечного сечения балки;

      2. Вычислить нормальные напряжения s по заданному изгибающему моменту и построить их эпюру;

      3. Определить значения касательных напряжений в точке 3;

      4. Определить значения главных напряжений в точке 3 и указать их направления (показать главные площадки), имея в виду, что сечение относится к левой части балки.

      Дано: расчетные значения изгибающего момента и поперечной силы в сечении М_P = 156 кНЧм, Q_P = 104 кН; h_CT = 0,34 м; b₁/h_CT = 0,7; b₂/h_CT = 0,9; d₁/h_CT = 0,1; d₂/h_CT = 0,07; d/d₁ = 0,4. Нормативное значение сопротивления материалу при изгибе R_H = = 217100 кН/м², коэффициент запаса по прочности n = 1,3.

      Решение

      1. Определение расчетных параметров поперечного сечения балки (рис. 5.22, а). Ширина верхней полки b₁ =  = 0,7Чh_CT = 0,7Ч0,34 = 0,238 м, принимаем b₁ = 0,24 м; толщина верхней полки d₁ = 0,1Чh_CT = 0,1Ч0,34 = 0,034 м; площадь сечения верхней полки м², ширина нижней полки b₂ = 0,9Чh_CT = 0,9Ч0,34 = 0,306 м, принимаем b₂ = 0,3 м; толщина нижней полки d₂ = 0,07Чh_CT = 0,07Ч0,34 = 0,0238 м, принимаем d₂ = 0,024 м; площадь сечения нижней полки = 0,3Ч0,024 = =0,0072 м², толщина стенки d = 0,4Чd₁ = 0,4Ч0,034 = 0,0136 м, принимаем d = 0,014 м; площадь сечения стенки F_CT = 0,34Ч0,014 = = 0,00476 м²; высота балки h_d = h_CT + d₁ + d₂ = 0,34 + 0,034 + + 0,024 = 0,398 м.

Определение площади поперечного сечения балки.

м².

      Определение центра тяжести поперечного сечения балки. Ось y является осью симметрии сечения балки, следовательно, центр его тяжести находится на этой оси. За вспомогательную ось для определения координаты центра тяжести сечения на оси y принимаем ось x₁ (рис. 5.22, а). Заметим, что поперечное сечение балки является составным, и включает в себя три прямоугольника (верхняя и нижняя полки, а также стенка). С учетом данного обстоятельства и воспользовавшись выражением (3.6), вычислим статический момент площади поперечного сечения балки относительно оси x₁ :

      Тогда положение центра тяжести на оси у определится ординатой

м.

      Определение момента инерции поперечного сечения балки относительно центральной оси (рис. 5.22). Значение момента инерции вычислим, пользуясь зависимостью между моментами инерции относительно параллельных осей:

где , и - моменты инерции верхней и нижней полки и стенки, соответственно, относительно собственных горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести (см. п. 3.2),

      2. Вычислить нормальные напряжения s по заданному изгибающему моменту и построить их эпюру.

      Момент сопротивления W_x для точек 1 и 2 определим по формулам:

для точки 1  м³;

для точки 2  м³,

где y₁ = h_d - y_c = 0,398 - 0,205 = 0,193 м, y₂ = y_C = 0,205 м.