Сопромат

      Вычислим напряжения в точке 1 (рис. 5.22, а):

кН/м² » 53000 МПа < 167000 кН/м² 

      Вычислим напряжения в точке 2 (рис. 5.22, а):

кН/м² » 56000 МПа < 167000 кН/м²

      Найдем значение нормальных напряжений в точке 3 по (5.10):

кН/м² . 

      По полученным значениям s строим эпюру нормальных напряжений (рис. 5.22, б).

      Проверку прочности производим по формуле

,

где M_P - расчетный изгибающий момент; W_x - момент сопротивления при изгибе; R_И - допускаемое напряжение при изгибе.

      Допускаемое напряжение при изгибе равно:

кН/м².

      Как видно, балка имеет значительное недонапряжение.

      3. Определить значения касательных напряжений в точке 3.

      Касательное напряжение определим по формуле Журавского:

,

где - расчетная поперечная сила, d - ширина сечения на уровне точки 3.

      Вычислим статический момент отсеченной части в точке 3 части сечения :

= 0,0072Ч(0,205 - 0,5Ч0,024)+

+ 0,00119Ч(0,096 + 0,125Ч0,34) = 1,544Ч10^-3 м³,

где = 0,25Чh_CTЧd = 0,25Ч0,34Ч0,014 = 0,00119 м².

      Вычислим касательное напряжение в точке 3:

кН/м².

      4. Определить значения главных напряжений в т. 3 и указать их направления (показать главные площадки), имея в виду, что сечение относится к левой части балки.

      Главные напряжения в точке 3 определяем по формуле:

.

      Подставив в данную формулу значения s₃ и t₃ , получим:

кН/м²;

кН/м².

      В заключение найдем положение главных площадок и направление главных напряжений (рис. 5.22, в).

      При отрицательном угле a₀ откладываем его от нормали к сечению (площадке) по часовой стрелке и показываем положение главных площадок и направление главных напряжений (рис. 5.22).

5.7. Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров

      Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные перемещения, а поперечные сечения совершают повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона j, касательной к изогнутой оси балки (рис. 5.23).

Рис. 5.23

      Прогибы и углы поворотов в балках являются функциями координаты z и их определение необходимо для расчета жесткости. Рассмотрим изгиб стержня в одной из главных плоскостей например, в плоскости yz. Как показывает практика, в составе реальных сооружений стержни испытывают весьма малые искривления (y_max/l = 10^-2 - 10^-3, где y_max - максимальный прогиб; l - пролет балки).

      В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки являются y(z) и j  (z) = = a  (z) (рис.5.23). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты z - функцию перемещений y (z) и функцию углов поворота j  (z). Из геометрических построений (рис. 5.23) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

.   (5.17)

      Из курса математического анализа известно, что кривизна плоской кривой y (z) выражается следующей формулой:

.

      Если рассмотреть совместно соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

.    (5.18)

      Учитывая (5.9), из (5.18) получим следующее важное дифференциальное соотношение

,   (5.19)

где I_x  - момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е - модуль упругости материала; E I_x  - изгибная жесткость балки.

      Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_x (z) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

      Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота поперечного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно пологой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.

      В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y (z) и углов поворота j  (z), необходимо решить уравнение (5.19), с учетом граничных условий между смежными участками.

      Для балки, имеющей несколько участков, определение формы упругой линии является достаточно сложной задачей. Уравнение (5.19), записанное для каждого участка, после интегрирования, содержит две произвольные постоянные.

      На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое число граничных условий для вычисления произвольных постоянных интегрирования.