Сопромат

      Для пластичного материала предельным обычно считается, напряженное состояние, которое соответствует возникновению заметных остаточных деформаций, а для хрупкого - такое, при котором начинается разрушение материала.

      Для выполнения расчетов на прочность вводятся понятия коэффициента запаса прочности и эффективное напряжение.

      Коэффициент запаса при данном напряженном состоянии это число, показывающее во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты тензора напряжений, чтобы оно стало предельным.

      Эквивалентное напряжение s_ЭКВ - это такое напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние было равно опасно с заданным.

      Для пластичных материалов критерием наступления предельного состояния принимается состояние, при котором максимальные касательные напряжения достигают некоторого предельного значения:

s_ЭКВ = 2 t_max = s₁ - s₃ .   (10.24)

      Гипотеза максимальных касательных напряжений, приемлемая для пластичных материалов, обнаруживает заметные погрешности для материалов, имеющих различные механические характеристики при сжатии и растяжении.

      В таких случаях применяется энергетическая гипотеза, согласно которой предельное состояние в точке наступает тогда, когда выражение

 (10.25)

принимает некоторое заранее заданное значение. Это предельное значение для U_ОФ определяется следующим образом. Для простого растяжения выражение (10.25) принимает вид:

.

      В сложном напряженном состоянии U_ОФ принимает значение

.   (10.26)

      При совместном рассмотрении (10.25) и (10.26) получим:

s_ЭКВ или

s_ЭКВ .

10.7. Плоская задача в декартовых координатах

      На практике различают два вида плоской задачи - плоскую деформацию и обобщенное плоское напряженное состояние.

      В случае плоской деформации линейные деформации вдоль одной из координатных осей, например, оси z отсутствуют, а напряжения имеются e_zz = 0; s_zz № 0. Примером плоской деформации может служить деформация длинной стенки постоянного сечения, в случаях когда внешние нагрузки расположены в плоскостях, перпендикулярных оси z, где ось z направлена вдоль стенки.

      Примером обобщенного плоского напряженного состояния может служить напряженно-деформированное состояние тонкой пластины, в случае, когда внешние нагрузки приложены по ее контуру и равномерно распределены по толщине пластины рис. 10.5.

Рис. 10.5

      Расположим начало системы координат x, y, z в серединной плоскости пластины, а ось z направим перпендикулярно к ней, тогда будем иметь: e_zz № 0;  s_zz = 0.

      Плоская задача теории упругости, как и объемная задача, может быть решена как в перемещениях, так и в напряжениях.

      Здесь рассмотрим решение плоской задачи обобщенного напряженного состояния в напряжениях допуская, что объемной силой является собственный вес, постоянный для всех точек тела. Пусть g_y - вес единицы объема тела. В данном случае искомыми величинами являются следующие три компонента вектора напряжений s_xx , s_yy , t_xy . Предполагая, что s_zz = 0 и все производные по оси z равны нулю, основные уравнения теории упругости значительно упростятся и примут вид:

      уравнения равновесия

   (10.27)

      уравнения неразрывности деформации

;   (10.28)

      физические уравнения, т.е. закон Гука:

   (10.29)

      В результате совместного рассмотрения этих выражений получим:

С² (s_xx + s_yy ) = 0,    (10.30)

где - оператор Лапласа.

      Следовательно, решение краевой задачи теории упругости в напряжениях, в случае обобщенного плоского напряженного состояния, упрощается и сводится к решению уравнения (10.30) с учетом граничных условий, заданных на контуре тела:

,

где v  - внешняя нормаль к площадке; X, Y - компоненты полного напряжения на границе по осям x и y.

      Решение плоской задачи теории упругости значительно упрощаются с использованием функции напряжений Эри j (x, y), выбранной таким образом, чтобы уравнения равновесия (10.27) превращались бы в тождества, т.е.:

. (10.31)

      Подставляя первые два выражения (10.31) в (10.30) получим:

.   (10.32)

      Таким образом, решение плоской задачи в напряжениях сводится к решению уравнения (10.32) с учетом заданных в напряжениях граничных условий.

10.8. Пример расчета (задача № 19)

      Определить главные напряжения и направления главных площадок, если напряженное состояние в точке задано следующими компонентами: s_xx = 50 МПа, s_yy = -20 МПа, s_zz = 30 МПа, t_xy =  
= -10 МПа, t_yz = 10 МПа, t_zx = 10 МПа.

      Решение

      1. В соответствии с (10.14) определяем инварианты заданного напряженного состояния:

I ₁ = s_xx + s_yy + s_zz = 50 - 20 + 30 = 60 МПа;

I ₂= s_xx  s_yy  + s_yy  s_zz +s_xx  s_zz - = 50Ч(-20) +  
+ (-20)Ч30 + 30Ч50 - 10² - 10² - 10² = -400 МПа.

I ₃=s_xx  s_yy s_zz - = 
= 50Ч(-20)Ч30 -50Ч10² -(-20)Ч10² -30 -10² + 2Ч(-10)Ч10Ч10 =-38000 МПа.

2. Определяем коэффициенты уравнения (10.13). Если сделать

замену неизвестного S =s = x + , то из (10.13) получаем приведенное уравнение:

,

где

p = -400-  =-1600,    q = .

      Определим дискриминант приведенного уравнения:

.

      Так как дискриминант отрицателен, значит все корни приведенного уравнения вещественные.

      3. Вычисление величин главных напряжений. Для решения приведенного уравнения применим формулу Кардано:

,

где 

cos j 

®j = 124,63°;

cos (j/3) = cos (41,54°) = 0,7484; cos (j/3+2 p/3)=-0,9486; cos (j/3 + + 4 p/3) = 0,2;

;

.

      Окончательно получим:

s₁ = 34,57 + 60/3 = 54,57 МПа;

s₂ = -43,81 + 60/3 = -23,8 МПа;

s₃ = 9,22 + 60/3 = 29,22 МПа.

      Проверка правильности вычисления главных напряжений: так как I₁, I₂ и I₃ - инварианты, значит их значения постоянны. Ранее были получены их значения в заданной системе координат. Сейчас же найдем  их значения в главной системе координат:

I₁ = s₁ + s₂ + s₃ = 54,57 - 23,8 + 29,22 = 59,99 МПа;

I₂= s₁ s₂ + s₁ s₃ + s₂ s₃ = 54,57Ч(-23,8) - 23,8Ч29,22 + 29,22Ч54,57 = 
= -400,2 МПа;