Сопромат

 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ

      Современные базовые учебники по сопротивлению материалов, теории упругости, пластичности [1-3, 5, 7] изложены во внушительных объемах и в основном ориентированы на подробном изложении теории. Это обстоятельство усложняет процесс самостоятельного изучения предмета и послужило побудительной причиной подготовки настоящего издания.

      В книге в доступной, но достаточно строгой форме изложены основные разделы классического курса сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, которые сопровождаются подробными примерами расчетов, что несомненно должно облегчить процесс самостоятельного освоения предмета.

      Учебник написан на основе использования опыта преподавания на кафедре «Сопротивление материалов и строительная механика» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения.

      При подготовке рукописи учебника автор с благодарностью учел замечания рецензентов книги д.т.н., проф., академика РААСН Александрова А.В. и д.ф.-м.н., проф. Власова Б.Ф.доц., а также доц., к.т.н. Кушнаренко Е.М., доц., к.т.н. Сергиенко В.Н

      В настоящем издании книги по сравнению с [6] произведена некоторая перекомпоновка материала, устранены выявленные опечатки. В конце книги добавлен раздел где по тематике каждой главы изложены вопросы для самопроверки, а также семейства задач для самостоятельных и контрольных работ. В тексте наиболее важные определения выделены курсивом.

      Все замечания и пожелания будут приняты автором с благодарностью. Письма просим направлять по адресу: 101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издательство «Высшая школа» или

125808, Москва, ГСП-47, ул. Часовая, 22/2, РГОТУПС, кафедра «Сопротивление материалов и строительная механика». 
 
 
 
 
 

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. Задачи и методы сопротивления материалов

      Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов выполняются расчеты, на основании которых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений.

      В отличие от теоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными являются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В то же время, вследствие общности основных положений, сопротивление материалов рассматривается как раздел механики твердых деформируемых тел.

      В состав механики деформируемых тел входят также такие дисциплины, как: теория упругости, теория пластичности, теория ползучести, теория разрушения и др., рассматривающие, по существу, те же вопросы, что и сопротивление материалов. Различие между сопротивлением материалов и другими теориями механики твердого деформируемого тела заключается в подходах к решению задач.

      Строгие теории механики деформируемого тела базируются на более точной постановке проблем, в связи с чем, для решения задач приходится применять более сложный математический аппарат и проводить громоздкие вычислительные операции. Вследствие этого возможности применения таких методов в практических задачах ограничены.

      В свою очередь, методы сопротивления материалов базируются на упрощенных гипотезах, которые, с одной стороны, позволяют решать широкий круг инженерных задач, а с другой, получать приемлемые по точности результаты расчетов.

      При этом главной задачей курса является формирование знаний для применения математического аппарата при решении прикладных задач, осмысления полученных численных результатов и поиска выбора наиболее оптимальных конструктивных решений. То есть данный предмет является базовым для формирования инженерного мышления и подготовки кадров высшей квалификации по техническим специализациям. 

1.2. Реальный объект и расчетная схема

      В сопротивлении материалов, как и во всякой отрасли естествознания, исследование вопроса о прочности или жесткости реального объекта начинается с выбора расчетной схемы. Расчетная схема конструкции - его упрощенная схема, освобожденная от несущественных в данной задаче особенностей. Выбор расчетной схемы начинается со схематизации свойств материалов сооружения. В сопротивлении материалов принято рассматривать все материалы как однородную сплошную среду, независимо от их микроструктуры. Под однородностью материала понимают независимость его свойств от величины выделенного из тела объема. И хотя в действительности реальный материал, как правило, неоднороден (уже в силу его молекулярного строения), тем не менее указанная особенность не является существенной, поскольку в сопротивлении материалов рассматриваются конструкции, размеры которых существенно превышают не только межатомные расстояния, но и размеры кристаллических зерен.

      С понятием однородности тесно связано понятие сплошности среды, под которым подразумевают тот факт, что материал конструкции полностью заполняет весь отведенный ему объем, а значит в теле конструкции нет пустот .

      Под действием внешних сил реальное тело меняет свои геометрические размеры. После снятия нагрузки геометрические размеры тела полностью или частично восстанавливаются. Свойство тела восстанавливать свои первоначальные размеры после разгрузки называется упругостью. При решении большинства задач в сопротивлении материалов принимается, что материал конструкций абсолютно упругий.

      Обычно сплошная среда принимается изотропной, т.е. предполагается, что свойства тела, выделенного из нее, не зависят от его ориентации в пределах этой среды. Отдельно взятый кристалл материала анизотропен, но т.к. в объеме реального тела содержится бесконечно большое количество хаотично расположенных кристаллов, принимается, что материал изотропен.

      При выборе расчетной схемы вводятся упрощения и в геометрию реального объекта. Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схемам бруса (стержня) или оболочки. Как известно, любое тело в пространстве характеризуется тремя измерениями. Брусом называется геометрический объект, одно из измерений которого (длина) много больше двух других. Геометрически брус может быть образован путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой, как это показано на рис. 1.1.

Рис. 1.1

      Эта кривая называется осью бруса, а плоская замкнутая фигура, располагающая свой центр тяжести на оси бруса и нормальная к ней, называется его поперечным сечением. Брус может иметь как постоянное, так и переменное поперечное сечение. Многие сложные конструкции на практике рассматриваются как комбинации элементов, имеющих форму бруса, поэтому в настоящей книге преимущественно рассматриваются методы расчета бруса как основного геометрического объекта изучения науки сопротивления материалов. Второй основной геометрической формой, рассматриваемой в сопротивлении материалов, является оболочка, под которой подразумевается тело, у которого одно из измерений (толщина) намного меньше, чем два других.

      Для соединения отдельных частей конструкции между собой и передачи внешней нагрузки на основание на нее накладываются связи, ограничивающие перемещения тех точек сооружения, к которым они приложены. Связи могут ограничивать либо повороты точек сооружения, либо их линейные смещения, либо и то и другое.  

1.3. Внешние и внутренние силы.

Метод сечений 

      Силы являются мерилом механического взаимодействия тел. Если конструкция рассматривается изолированно от окружающих тел, то действие последних на нее заменяется силами, которые называются внешними. Внешние силы, действующие на тело, можно разделить на активные (независимые) и реактивные. Реактивные усилия возникают в связях, наложенных на тело, и определяются действующими на тело активными усилиями.

      По способу приложения внешние силы делятся на объемные и поверхностные.

      Объемные силы распределены по всему объему рассматриваемого тела и приложены к каждой его частице. В частности, к объемным силам относятся собственный вес сооружения, магнитное притяжение  или  силы  инерции.  Единицей  измерения объемных

сил является сила, отнесенная к единице объема - кН/м³ .

      Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом непосредственного контактного взаимодействия рассматриваемого объекта с окружающими телами. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные нагрузки подразделяются на сосредоточенные и распределенные. К первым относятся нагрузки, реальная площадь приложения которых несоизмеримо меньше полной площади поверхности тела (например, воздействие колонн на фундаментную плиту достаточно больших размеров можно рассматривать как действие на нее сосредоточенных усилий). Если же площадь приложения нагрузки сопоставима с площадью поверхности тела, то такая нагрузка рассматривается как распределенная. Сосредоточенные усилия измеряются в кН, а распределенные - кН/м².

      Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характеризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмолекулярного воздействия.

      Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений, суть которого заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.

      Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис. 1.2, а).

Рис. 1.2

      Пусть к нему приложена некоторая система внешних сил Р₁, Р₂, Р₃,..., Р_n , удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при действии указанных внешних сил тело находится в состоянии равновесия.

      Если рассечь брус сечением А на две части и правую отбросить, то, т.к. связи между частями тела устранены, необходимо действие правой (отброшенной) части на левую заменить некоей системой внутренних сил (P_А ), действующей в сечении А (рис. 1.2, б).

      Обозначая через P_лев и Р_прав суммы внешних сил, приложенных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что

                             P_лев + Р_прав = 0   (1.1)

для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соотношения:

                  Р_лев + P_A = 0; Р_прав - P_A = 0.  (1.2)

      Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил Р_А в сечении А может определяться с равным успехом из условий равновесия либо левой, либо правой частей рассеченного тела. В этом суть метода сечений.

      Внутренние усилия должны быть так распределены по сечению, чтобы деформированные поверхности сечения А при совмещении правой и левой частей тела в точности совпадали. Это требование в механике твердого деформируемого тела носит название условия неразрывности деформаций.

      Воспользуемся правилами статики и приведем систему внутренних сил Р_А к центру тяжести сечения А в соответствии с правилами теоретической механики. В результате получим главный вектор сил и главный вектор момента (рис. 1.3). Далее выбираем декартову систему координат xyz с началом координат, совпадающим с центром тяжести сечения А. Ось z направим по нормали к сечению, а оси x и y расположим в плоскости сечения. Спроектировав главный вектор сил и главный момент на координатные оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы N_z , Q_x , Q_y и три момента M_z , M_x , M_y , называемых внутренними силовыми факторами в сечении бруса.