Сопромат

      Учитывая постоянство площади поперечного сечения на втором участке, выражение для нормального напряжения может быть записано таким образом:

кН/м². 

      Вычислим значения ординат и в граничных сечениях второго участка:

при z₂ = 0,4 м  кН,

                   кН/м²;

при z₂ = 0,8 м  кН,

                   кН/м².

      3 участок (С - D) 0,8 м Ј z₃ Ј 1,2 м.

      Составив уравнение равновесия еz = 0 (рис. 2.3, г) для верхней части бруса, получим:

Р₁ + Р₂ +   + P +   = 0,

откуда

= -P - g F₁ l₁ - g F₂ l₂ - g F₃ (z₃ - l₁ - l₂) = -20 - 78Ч4Ч10^-2Ч0,4 - 
- 78Ч9Ч10^-2 Ч0,4 - 78Ч25Ч10^-2 (z₃ - 0,8) = -19,5Ч(z₃ + 0,43364) кН.

      Выражение для напряжения:

       кН/м².

      Вычислим значения ординат и в граничных сечениях третьего участка:

при z₃ = 0,8 м  (0,8) = -19,5 (0,8 + 0,43364) = -24,056 кН,

                   (0,8) = -78 (0,8 + 0,43364) = -96,224кН/м²;

при z₃ = 1,2 м  (1,2) = -19,5 (1,2 + 0,43364) = -31,856 кН,

                   кН/м².

      3. Построение эпюр N_z и s_z По причине линейной зависимости нормальной силы и напряжений от координаты z для построения их эпюр достаточно значений N_z и s_z в граничных сечениях каждого из участков (см. рис. 2.3, д, е). Необходимым условием правильности построения этих графиков является выполнение следующих требований:

      - скачок в эпюре N_z должен находиться в точке приложения сосредоточенного усилия и быть равным по величине значению этой силы;

      - скачки в эпюре s_z должны совпадать с точками приложения внешней силы Р и изменения площади поперечного сечения колонны.

      После анализа полученных эпюр (рис. 2.3, д, е) легко можно убедиться, что построения выполнены правильно.

      4. Вычисление перемещения верхнего конца колонны от действия всех сил. Полное перемещение согласно закону Гука может быть вычислено по формуле

.

      В данном случае это выражение принимает следующий вид:

      Так как величины определенных интегралов равны площадям, очерченным соответствующими подынтегральными функциями, то для вычисления перемещений Dl_i достаточно вычислить площади эпюры N_z на каждом из этих участков и разделить их на E_i F_i . Следовательно,

м.

2.4. Потенциальная энергия деформации

      Внешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометрии тела, совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим в упругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается в кинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояние системы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствия рассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:

А = U + K.    (2.8)

      При действии статических нагрузок К = 0, следовательно,

А = U.    (2.9)

      Это означает, что при статическом нагружении работа внешних сил полностью преобразуется в потенциальную энергию деформации. При разгрузке тела производится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругого тела широко используется в технике, например, в заводных пружинах часовых механизмов, в амортизирующих рессорах и др. В случае простого растяжения (сжатия) для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформации рассмотрим решение следующей задачи.

      На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которого соответствует отрезку Dl, ниже показан график изменения величины удлинения стержня Dl в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б). В соответствии с законом Гука этот график носит линейный характер.

      Пусть некоторому значению силы Р соответствует удлинение стержня Dl. Дадим некоторое приращение силе DР - соответствующее приращение удлинения составит d (Dl ). Тогда элементарная работа на этом приращении удлинения составит:

dA = (P + d P)Чd (D l ) = PЧd (D l ) + d P Ч d (D l ) ,  (2.10)

вторым слагаемым, в силу его малости, можно пренебречь, и тогда

dA = PЧd (D l ).    (2.11)

      Полная работа равна сумме элементарных работ, тогда, при линейной зависимости “нагрузка - перемещение”, работа внешней силы Р на перемещении Dl будет равна площади треугольника ОСВ (рис. 2.4), т.е.

А = 0,5 РЧDl .    (2.12)

      В свою очередь, когда напряжения s и деформации e распределены по объему тела V равномерно (как в рассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можно записать в виде:

.    (2.13)

      Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l, P = s F и s = Е e, то

, (2.14)

т.е. подтверждена справедливость (2.9).

      С учетом (2.5) для однородного стержня с постоянным поперечным сечением и при Р = const из (2.14) получим:

.    (2.15)

2.5. Статически определимые и статически 
неопределимые системы

      Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в равновесном состоянии от действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а также внутренние усилия в ее элементах, можно определить только по методу сечений, без использования дополнительных условий, то такая система называется статически определимой.