Сопромат

Рис. 5.13

Sy = -P - qЧ5 + R_A + R_B = 0;     -10 - 20Ч5 + 40 + 70 = 0;

-110 + 110 = 0;     0 = 0.

      Удовлетворение этого уравнения говорит о правильности вычисления величин и направления опорных реакций.

Определение количества участков

      Учитывая, что границами участков являются точки приложения внешних сил и опорных реакций, а также сечения, где распределенная нагрузка меняется скачкообразно. Поэтому заданная балка имеет четыре участка: I участок - КА; II участок - АС; III участок - СВ и IV участок - ВD (рис. 5.13, б).

Составление аналитических выражений Q_y, M_x и определение значений их в характерных сечениях каждого участка

      Поместив начало системы координат в центре тяжести крайнего левого поперечного сечения балки, и рассекая ее в пределах участка I, рассмотрим равновесие левой части балки длиной z₁ (рис. 5.14, а). Составив уравнения равновесия Sy = 0 и для этой части, найдем аналитические выражения изменения Q_y и M_x на участке I, где z₁ изменяется в пределах 0 Ј z₁ Ј 1 м:

Рис. 5.14

Sy = 0,  - - P = 0,     = -P (постоянная величина);

, - - PЧz₁ = 0,     = -PЧz₁ (уравнение прямой линии).

      Знак “минус” у говорит о том, что в этом сечении возникает поперечная сила, действующая в направлении, обратном показанному на рис. 5.14, а, а у - что в сечении будет возникать изгибающий момент, растягивающий верхние волокна, а не нижние, как показано на рис. 5.14, а. Для определения величин и в характерных сечениях этого участка подставим значения z₁ в полученные аналитические выражения:

при z₁ = 0       = -10 кН,  = -10Ч0 = 0;

при z₁ = 1 м       = -10 кН,  = -10Ч1 = -10кНЧм.

      Проведя сечение в пределах участка II, рассмотрим равновесие левой отсеченной части балки (рис. 5.14, б) и из уравнений равновесия Sy = 0 и найдем аналитические выражения для и на этом участке, где z₂ изменяется в пределах 1 м Ј Ј z₂ Ј 3 м:

Sy = 0,    - - P + R_A = 0,    = R_A - P (постоянная величина);

, - - PЧz₂ + R_A (z₂ - 1) = 0,

                   = R_A (z₂ - 1) - PЧz₂ (уравнение прямой линии).

      Подставив в полученные выражения значения z₂ , соответствующие граничным сечениям участка II, определим величины и , возникающие в этих сечениях:

при z₂ = 1 м   = 40 - 10 = 30 кН,

                         = 40Ч(1 - 1)-10Ч1 = -10 кНЧм;

при z₂ = 3 м  = 30 кН, = 40Ч(3 - 1) - 10Ч3 = 50 кНЧм.

      Сделав сечение в пределах участка III, составив и решив уравнения равновесия Sy = 0 и для левой отсеченной части (рис. 5.15), получим аналитические выражения изменения Q_y и M_x на участке III, где z₃ изменяется в пределах 3 Ј z₃ Ј 7 м:

Sy = 0,  - - P + R_A - qЧ(z₃ - 3) = 0,

                   = R_A - P - qЧ(z₃ - 3) -уравнение прямой;

,   ,

              - уравнение параболы.

Рис. 5.15

Теперь найдем и в граничных сечениях С и В участка III: при z₃ = 3 м      = 40 - 10 - 
- 20Ч(3- 3) = 30 кН,

                   = 40Ч(3 - 1)-10Ч3 -  = -50 кНЧм;

при z₃ = 7 м   = 40 - 10 - 20Ч(7 - 3) = -50 кН,

                   = 40Ч(7 - 1) - 10Ч7 - = 10 кНЧм.

      Как видно, поперечная сила на этом участке принимает в некотором сечении нулевое значение и меняет знак при прохождении через него (рис. 5.13, в). Поэтому в сечении, где = 
= 0, будет экстремальное значение изгибающего момента. Для его определения найдем величину z₀ , при котором = 0. Приравняв выражение для к нулю, получим:

R_A -P - qЧ(z₀ - 3) = 0,     м.

      Подставив найденное значение z₀ = 4,5 м в выражение для , найдем величину экстремального значения изгибающего момента на этом участке M_max = 72,5 кНЧм.

      Для получения аналитических выражений изменения Q_y и M_x на участке IV целесообразно начало координат перенести в сечение D и рассматривать равновесие правой отсеченной части, т.к. в этом случае вследствие меньшего количества внешних сил, приложенных к правой части балки, аналитические выражения будут проще по своему виду, а вычисление ординат менее трудоемко.

Рис. 5.16

Аналитические выражения и на участке IV (рис. 5.16) (0 Ј z₄ Ј Ј 1 м) получим из следующих уравнений:

Sy = 0,  - - qЧz₄ = 0,   = qЧz₄ - (прямая линия);

,    ,     - (парабола).

      В граничных сечениях D и В участка IV ординаты эпюр Q_y и M_x :

при z₄ = 0  = 0,   = 20 кНЧм;

при z₄ = 1 м  = 20Ч1 =20 кН,  кНЧм.

      Так как величина на участке IV изменяется по закону квадратной параболы, то для уточнения ее очертания надо определить ординату эпюры M_x в каком-нибудь промежуточном сечении. Например, при z₄ = 0,5 м, где ордината будет равна:

кНЧм.

Построение эпюр Q_y и M_x для всей балки