Сопромат

Рис. 3.1    Рис. 3.2

   (3.3)

      Величины а и b можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы выполнялись следующие равенства:

            bЧF = S_x ;     aЧF = S_y ,   (3.4)

тогда статические моменты .

      Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (x_C , y_C) пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):

             .  (3.5)

      Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей площадью F. Обозначим через F_k (k = 1, 2, 3,..., n) площадь k-ой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выражение (3.1) можно преобразовать в следующем виде:

, (3.6)

где - статические моменты k-той области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

3.2. Моменты инерции сечения

Рис. 3.3

  В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y (рис. 3.1)рассмотрим три интегральных выражения:

          (3.7)

      Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье - центробежным моментом инерции сечения относительно осей x, y.

      Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 3.3), формулы (3.7) по аналогии с (3.6) будут иметь вид:

      Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим :

   (3.8)

      Если предположить, что оси x₁ и y₁ (см. рис. 3.2) являются центральными, тогда и выражения (3.8) упрощаются и принимают вид:

 (3.9)

Рис. 3.4

      Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и y , проходящих через его центр тяжести (рис. 3.4). В качестве элементарной площадки dF возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 3.4). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что

.

      Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где r - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе координат.

Рис. 3.5

      Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 3.5, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

dF = r dr dj .

      Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:

.

      Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 3.5, б), что

r² = x² + y²,

следовательно,

.

      Так как оси x и y для круга равнозначны, то I_x = I_y =  .

      Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

.

3.3. Главные оси и главные моменты инерции

      Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что

u = y sin a + x cos a;     v = y cos a - x sin a .  (3.10)

      Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

  (3.11)

      Складывая первые два уравнения, получим:

            I_u + I_v = I_x + I_y = I_r ,   (3.12)

где ; I_r - полярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

      Дифференцируя в (3.11) выражение I_u по a и приравнивая его нулю, находим значение a = a₀ , при котором функция I_u принимает экстремальное значение:

             .   (3.13)

      С учетом (3.12) можно утверждать, что при a = a₀  один из осевых моментов I_u или I_v будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a = a₀    I_uv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

      Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:

       .  (3.14)

      В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и y - i_x и i_y , соответственно, которые определяются по формулам:

             .  (3.15)

3.4. Пример расчета (задача № 3)

      Для сечения, составленного из швеллера №20 а, равнобокого уголка (80ґ80ґ8)Ч10^-9 м³ и полосы (180ґ10)Ч10^-6 м² (рис. 3.6) требуется:

      1. Найти общую площадь сечения;

      2. Определить центр тяжести составного сечения;

      3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести;

      4. Найти положение главных центральных осей инерции;

      5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления;

      6. Вычислить величины главных радиусов инерции.

Рис. 3.6 

      Решение

      Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): h_шв = 0,2 м, b_шв = 0,08 м, F_шв = 25,2Ч10^-4м², = 1670Ч10^-8м⁴, = 139Ч10^-8м⁴, = 0,0228 м.

      Уголок (80ґ80ґ8)Ч10^-9 м³ (ГОСТ 8509-72): b_уг = 0,08 м, F_уг =  = 12,3Ч10^-4 м², = 73,4Ч10^-8 м⁴, = 116Ч10^-8 м⁴, =30,3Ч10^-8 м⁴, = 0,0227 м.

Полоса b_ПЧd_П = 18Ч1Ч10^-4 м², F_П = b_ПЧd_П = 18Ч1Ч10^-4 м² = 18Ч10^-4 м²;

м⁴, = 486Ч10^-8 м⁴.

      1. Определение общей площади составного сечения. Общая площадь составного сечения определяется по формуле:

F = F_шв + F_уг + F_П,     F = (25,2 + 12,3+18)Ч10^-4 = 55,5Ч10^-4 м².

      2. Определить центр тяжести составного сечения. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси x_шв и y_шв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны: