Сопромат

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Октября 2009 в 18:09, Не определен

Описание работы

Современные базовые учебники по сопротивлению материалов, теории упругости, пластичности 13, 5, 7 изложены во внушительных объемах и в основном ориентированы на подробном изложении теории. Это обстоятельство усложняет процесс самостоятельного изучения предмета и послужило побудительной причиной подготовки настоящего издания.
В книге в доступной, но достаточно строгой форме изложены основные разделы классического курса сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, которые сопровождаются подробными примерами расчетов, что несомненно должно облегчить процесс самостоятельного освоения предмета.

Файлы: 21 файл

Литература.DOC

— 40.00 Кб (Просмотреть файл, Скачать файл)

Оглавление.DOC

— 28.00 Кб (Просмотреть файл, Скачать файл)

П3.DOC

— 1.17 Мб (Скачать файл)

    Рис. 3.1    Рис. 3.2

         (3.3)

      Величины а и b можно подобрать (причем единственным образом) так, чтобы выполнялись следующие равенства:

                  bЧS;     aЧF S,   (3.4)

тогда статические моменты .

      Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (xyC) пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (xy) и определяется из (3.4):

                   .  (3.5)

      Далее предположим, что брус имеет составное сечение (рис. 3.3) с общей площадью F. Обозначим через Fk (= 1, 2, 3,..., n) площадь k-ой области, принадлежащей к составному сечению бруса. Тогда выражение (3.1) можно преобразовать в следующем виде:

, (3.6)

где статические моменты k-той области относительно осей x и y. Следовательно, статический момент составного сечения равен сумме статических моментов составляющих областей.

3.2. Моменты инерции сечения

Рис. 3.3

  В дополнение к статическим моментам в системе координат x0y (рис. 3.1)рассмотрим три интегральных выражения:

          (3.7)

      Первые два интегральных выражения называются осевыми моментами инерции относительно осей x и y, а третье центробежным моментом инерции сечения относительно осей xy.

      Для сечений, состоящих из n-числа областей (рис. 3.3), формулы (3.7) по аналогии с (3.6) будут иметь вид:

      Рассмотрим, как изменяются моменты инерции сечения при параллельном переносе координатных осей x и y (см. рис. 3.2). Преобразуя формулы (3.7) с учетом выражения (3.2), получим :

         (3.8)

      Если предположить, что оси x1 и y1 (см. рис. 3.2) являются центральными, тогда и выражения (3.8) упрощаются и принимают вид:

 (3.9)

Рис. 3.4

      Определим осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей x и , проходящих через его центр тяжести (рис. 3.4). В качестве элементарной площадки dF возьмем полоску шириной b и высотой dy (рис. 3.4). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом можно установить, что

.

      Для систем, рассматриваемых в полярной системе координат (рис. 3.5, а), вводится также полярный момент инерции:

.

где r - радиус-вектор точки тела в заданной полярной системе координат.

Рис. 3.5

      Вычислим полярный момент инерции круга радиуса R. На рис. 3.5, a показана элементарная площадка, очерченная двумя радиусами и двумя концентрическими поверхностями, площадью

dF dd.

      Интегрирование по площади заменим двойным интегрированием:

.

      Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно (рис. 3.5, б), что

rxy2,

следовательно,

.

      Так как оси x и y для круга равнозначны, то I= I .

      Полярный момент инерции кольца может быть найден как разность моментов инерции двух кругов: наружного (радиусом R) и внутреннего (радиусом r):

.

3.3. Главные оси и главные моменты инерции

      Рассмотрим, как изменяются моменты инерции плоского сечения при повороте осей координат из положения x и y к положению u и v. Из рис. 3.5, б легко установить, что

    sin cos a;     = cos sin .  (3.10)

      Из выражений:

с учетом (3.10) после несложных преобразований получим:

      (3.11)

      Складывая первые два уравнения, получим:

                IIIII,   (3.12)

где ; Iполярный момент инерции сечения, величина которого, как видно, не зависит от угла поворота координатных осей.

      Дифференцируя в (3.11) выражение Iu по a и приравнивая его нулю, находим значение a, при котором функция Iu принимает экстремальное значение:

                 .   (3.13)

      С учетом (3.12) можно утверждать, что при a один из осевых моментов Iu или Iv будет наибольшим, а другой наименьшим. Одновременно при a0    Iuv обращается в нуль, что легко установить из третьей формулы (3.11).

      Декартовы оси координат, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, называются главными осями инерции. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными и определяются из (3.11) с учетом (3.13) и имеют вид:

           .  (3.14)

      В заключение введем понятие радиуса инерции сечения относительно координатных осей x и ix и i, соответственно, которые определяются по формулам:

                 .  (3.15)

3.4. Пример расчета (задача № 3)

      Для сечения, составленного из швеллера №20 а, равнобокого уголка (80ґ80ґ8)Ч10-9 м3 и полосы (180ґ10)Ч10-6 м2 (рис. 3.6) требуется:

      1. Найти общую площадь сечения;

      2. Определить центр тяжести составного сечения;

      3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести;

      4. Найти положение главных центральных осей инерции;

      5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления;

      6. Вычислить величины главных радиусов инерции.

Рис. 3.6 

      Решение

      Из сортамента выписываем все необходимые геометрические характеристики для профилей, входящих в составное сечение. Швеллер № 20 а (ГОСТ 8240-72): hшв = 0,2 м, bшв = 0,08 м, Fшв = 25,2Ч10-4м2, = 1670Ч10-8м4, = 139Ч10-8м4, = 0,0228 м.

      Уголок (80ґ80ґ8)Ч10-9 м3 (ГОСТ 8509-72): bуг = 0,08 м, Fуг =  = 12,3Ч10-4 м2, = 73,4Ч10-м4, = 116Ч10-м4, =30,3Ч10-8 м4, = 0,0227 м.

Полоса bПЧdП = 18Ч1Ч10-4 м2, FП bПЧdП = 18Ч1Ч10-4 м= 18Ч10-4 м2;

м4, = 486Ч10-м4.

      1. Определение общей площади составного сечения. Общая площадь составного сечения определяется по формуле:

Fшв Fуг FП,     F = (25,2 + 12,3+18)Ч10-4 = 55,5Ч10-4 м2.

      2. Определить центр тяжести составного сечения. В качестве вспомогательных осей для определения положения центра тяжести примем горизонтальную и вертикальную оси xшв и yшв , проходящие через центр тяжести швеллера. Статические моменты площади всего сечения относительно этих осей будут равны:

Информация о работе Сопромат