Сопромат

      t (r)= .    (4.11)

      Величина называется полярным моментом сопротивления поперечного сечения бруса в форме сплошного круга радиусом  R. Определяется эта величина из следующих соображений:

  (4.12)

      Если же в брусе имеется внутренняя центральная полость радиусом r =  , то для кольца

       ,  (4.13)

где с =  .

4.2. Кручение бруса с некруглым 
поперечным сечением

      Определение напряжений в брусе с некруглым поперечным сечением представляет собой сложную задачу, которая не может быть решена методами сопротивления материалов. Причина заключается в том, что для некруглого поперечного сечения упрощающая гипотеза плоских сечений, оказывается неприемлимой. В данном случае поперечные сечения существенно искривляются, в результате чего заметно меняется картина распределения напряжений.

      Таким образом, при определении углов сдвига, в данном случае, необходимо учитывать не только взаимный поворот сечений, но и деформации сечений в своей плоскости, связанная с искривлением сечений.

      Задача резко усложняется тем, что для некруглого сечения, напряжения должны определяться как функции уже не одного независимого переменного r, а двух - x и y.  

      Отметим некоторые особенности законов распределения напряжений в поперечных сечениях некруглой формы. Если поперечное сечение имеет внешние углы, то в них касательные напряжения должны обращаться в нуль. Если наружная поверхность бруса при кручении свободна, то касательные напряжения в поперечном сечении, направленные по нормали к контуру также будут равны нулю. 

Рис. 4.3

      На рис. 4.3 показана, полученная методом теории упругости, эпюра касательных напряжений для бруса прямоугольного сечения. В углах, как видно, напряжения равны нулю, а наибольшие их значения возникают по серединам больших сторон:

в точке А  t_A = t_max = ,    (4.14)

где W_К = b b³ - аналог полярного момента сопротивления поперечного сечения прямоугольного бруса;

в точке В  t_B = h t_max , (4.15)

здесь необходимо учесть, что b - малая сторона прямоугольника.

      Значения угла закручивания определяется по формуле:

             ,   (4.16)

где I_K = a b⁴ - аналог полярного момента инерции поперечного сечения бруса.

      Коэффициенты a, b и h зависят от отношения сторон m = h/b, и их значения приведены в табл. 3.

Таблица 3

      Геометрические характеристики наиболее представительных форм сечений обобщены в табл. 4.

4.3. Пример расчета (задача № 4)

      Стальной валик переменного сечения, испытывающего кручение, закручивается крутящими моментами, действующими в двух крайних и двух пролетных сечениях. Расчетная схема валика, ее геометрические размеры, величины и точки приложения внешних крутящих моментов указаны на рис. 4.4, а.

      Требуется:

      1. Построить эпюру крутящих моментов;

      2. Найти допускаемую величину момента М;

      3. Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки;

      4. Построить эпюру углов закручивания;

      Модуль упругости при сдвиге материала вала G = 8Ч10⁷ кН/м². Расчетное сопротивление материала вала срезу R_C = 10⁵ кН/м².

      Решение

1. Построить эпюру крутящих моментов. Для определения величины крутящих моментов используется метод сечений. Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, а) для I участка (0 Ј z Ј 0,5 м):

    откуда     .

      Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, б) для участка II (0,5 м Ј Ј z Ј 1,0 м):

    откуда     .

      Согласно расчетной схемы (рис. 4.5, в) для участка III (1,0 м Ј Ј z Ј 1,8 м):

    откуда     .

      По полученным данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.4, б).

  2. Найти допускаемую величину момента М. Допускаемая величина момента М_P  определяется из условия прочности:

. 
 
 

Рис. 4.4

      Сначала определим моменты сопротивления сечения валика для каждого участка.

I участок (трубчатое сечение) согласно (4.13):

   где ;

м³.

II участок (круглое сечение):

Рис. 4.5

м³.  

III участок (прямоугольное сечение):

,

где b - коэффициент, зависящий от отношения сторон прямоугольного сечения h/b (h > b). В данном случае , тогда

м³.

      Подсчитаем теперь напряжения по участкам в зависимости от момента М:

.

      Из сравнения результатов видно, что наиболее напряженным является участок II, поэтому допускаемая величина момента [M] определяется из зависимости:

            

откуда

             кНЧм.

      4. Построить эпюры касательных напряжений по сечениям вала, отметив на сечениях опасные точки. Касательные напряжения в точках поперечного сечения валика определяются по формулам:

для круглого сечения  при , t ;

для трубчатого сечения  при , t ;

для прямоугольного сечения (в середине большей стороны) и t₁ = g t_max (в середине меньшей стороны).

      Подсчитаем моменты инерции сечений валика относительно центра их кручения.

Участок I (трубчатое сечение):

м⁴.

Участок II (круглое сечение):

м⁴.

Участок III (прямоугольное сечение):

м⁴,

где a = 0,243 при h/b = 1/33.

      Определим значения напряжений в характерных точках сечений.

Участок I (0 Ј z Ј 0,5 м):

при  кН/м² = 77,5 МПа;

при  кН/м² =97,0МПа.

Участок II ( 0,5 м Ј z Ј 1,5 м):

при 

при  кН/м² = 100,0 Мпа.

Участок III (1,0 м Ј z Ј 1,8 м): в середине большей стороны

кН/м² = 86,8 МПа,

в середине меньшей стороны

t₃ = g t_max = 0,906Ч86,7 = 78,6 МПа.

где g = 0,906 при h/b = 1,33.

      По полученным данным строятся эпюры напряжений, приведенные на рис. 4.6.

      4. Построить эпюру углов закручивания. Угол закручивания на i-ом участке вала в соответствии с (4.10) определяется:

,

где - угол закручивания на правом конце (i-1)-го участка (для  первого участка - начальный угол закручивания вала); l_i - координата начала i-го участка.

Рис. 4.6

      Так как, в данном случае в пределах каждого из трех участков крутящие моменты и жесткости на кручение GI_r постоянны, то эпюры углов закручивания на каждом из участков будут линейны. В связи с этим, достаточно подсчитать их значения лишь на границах участков. Приняв, что левый конец вала защемлен от поворота, т.е. j (0) = 0, получим:

рад;