Сопромат

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Октября 2009 в 18:09, Не определен

Описание работы

Современные базовые учебники по сопротивлению материалов, теории упругости, пластичности 13, 5, 7 изложены во внушительных объемах и в основном ориентированы на подробном изложении теории. Это обстоятельство усложняет процесс самостоятельного изучения предмета и послужило побудительной причиной подготовки настоящего издания.
В книге в доступной, но достаточно строгой форме изложены основные разделы классического курса сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, которые сопровождаются подробными примерами расчетов, что несомненно должно облегчить процесс самостоятельного освоения предмета.

Файлы: 21 файл

П15.DOC

— 431.00 Кб (Скачать файл)

Рис. 10.1

      Нормальное и касательное напряжение обозначаются через s и t, соответственно, с двумя индексами: sxx syy ,..., tzx . Первый индекс соответствует координатной оси, перпендикулярной к площадке на которой действует данное напряжение, а второй оси, вдоль которой оно направлено. Поскольку, у нормальных напряжений оба индекса одинаковы, то для них применяют и одномерную индексацию: sxx s, syy s, и szz s. Ориентация осей является произвольной.

     Правило знаков примем следующее: если внешняя нормаль к площадке совпадает по направлению с положительным направлением соответствующей оси, то напряжение считается положительным, если оно   направлено вдоль положительного направления оси, вдоль которой оно действует. Так, на рис. 10.1 все напряжения положительные. 

      Из трех условий равновесия параллелепипеда в виде суммы моментов относительно координатных осей достаточно просто получить важные утверждения, что

      tyz tzy ;    tzx txz ;    txy tyx .  (10.1)

      То есть, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по величине и направлены обе либо к ребру, либо от него. Это утверждение закон парности касательных напряжений, сформулированный в общем виде.

      Рассматривая же равновесие параллелепипеда в виде суммы сил по направлениям координатных осей, и отбрасывая величины второго порядка малости, легко получить дифференциальные уравнения его равновесия:

      ;

      ;   (10.2)

      ,

где g, g, gсоставляющие объемных сил вдоль координатных осей.

      С учетом закона парности касательных напряжений (10.1), уравнения (10.2) содержат шесть неизвестных напряжений: s, s, s, txy , txz , tyz . Поскольку количество уравнений равновесия статики (10.2), меньше, чем количество неизвестных напряжений, то в общем случае задача определения напряженного состояния в произвольной точке сплошной среды нагруженного тела, является статически неопределимой.

10.2. Определение напряжений на произвольной площадке. Главные оси и главные напряжения

      Из напряженного тела в окрестности произвольной точки выделим элементарный объем в виде тетраэдра (рис. 10.2).

      Ориентация площадки в пространстве задается направляющими косинусами нормали v к ней = cos (xv), = cos (yv),
= cos  (
zv).

      Вектор полного напряжения на произвольной площадке abc спроецируем на оси x, y и z. Обозначим эти проекции через , , . Обозначая площадь треугольников abc, a0b, b0c, a0c через dF, dF, dF, dF, соответственно будем иметь:

    dFdFЧl;     dFdFЧm;     dFdFЧn.  (10.3)

      Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, последовательно на оси x, y, z и с учетом (10.3) получим:

      sx Ч l + tyx Ч m + tzx Ч n;

      = tyx Ч l + sy Ч m + tzy Чn;   (10.4)

      = tzx Ч l + tzy Ч m + sz Чn.

      Выразим нормальное напряжение sv на наклонной площадке через XYZ:

      sv = X Ч l + Y Ч m + Z Ч n .   (10.5)

      Отcюда, с учетом (10.3) получим

ssЧsЧsЧn + 2 tyzЧmЧ+ 2 tzxЧnЧtxyЧlЧ. (10.6)

      Рассмотрим множество секущих площадок произвольной ориентации, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каждой площадке отложим отрезок (s), координаты конца вектора которого будут следующими:

= r Ч l;    = r Ч m;    = r Ч n.

      Исключая из (10.6) направляющие косинусы, получим

sЧsЧsЧsЧ+ 2 tyzЧy z + 2 txyЧ+ 2 txzЧx z . (10.7)

      Принимая обозначение

,

где произвольная постоянная, из (10.6) получим:

sЧsЧsЧtyzЧy z + 2 txyЧx y + 2 txzЧx z k. (10.8)

      Из курса аналитической геометрии известно, что (10.8) представляет собой уравнение поверхности второго порядка в системе координат x, y, z. Следовательно путем поворота системы координат уравнение (10.8) можно преобразовать таким образом, чтобы попарные произведения исчезли, или иначе говоря коэффициенты попарных произведений принимали нулевые значения.

      Это значит, что в произвольной точке напряженного тела существует такое положение системы координат x, y, z, в которой касательные напряжения txy , txz , tyz равны нулю.

      Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них главными напряжениями. Принимаются такие обозначения: sі sі s3.

Рис. 10.2

Литература.DOC

— 40.00 Кб (Просмотреть файл, Скачать файл)

Оглавление.DOC

— 28.00 Кб (Просмотреть файл, Скачать файл)

Информация о работе Сопромат