Сопромат

Рис. 10.1

      Нормальное и касательное напряжение обозначаются через s и t, соответственно, с двумя индексами: s_xx , s_yy ,..., t_zx . Первый индекс соответствует координатной оси, перпендикулярной к площадке на которой действует данное напряжение, а второй - оси, вдоль которой оно направлено. Поскольку, у нормальных напряжений оба индекса одинаковы, то для них применяют и одномерную индексацию: s_xx = s_x , s_yy = s_y , и s_zz = s_z . Ориентация осей является произвольной.

     Правило знаков примем следующее: если внешняя нормаль к площадке совпадает по направлению с положительным направлением соответствующей оси, то напряжение считается положительным, если оно   направлено вдоль положительного направления оси, вдоль которой оно действует. Так, на рис. 10.1 все напряжения положительные. 

      Из трех условий равновесия параллелепипеда в виде суммы моментов относительно координатных осей достаточно просто получить важные утверждения, что

t_yz = t_zy ;    t_zx = t_xz ;    t_xy = t_yx .  (10.1)

      То есть, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны по величине и направлены обе либо к ребру, либо от него. Это утверждение - закон парности касательных напряжений, сформулированный в общем виде.

      Рассматривая же равновесие параллелепипеда в виде суммы сил по направлениям координатных осей, и отбрасывая величины второго порядка малости, легко получить дифференциальные уравнения его равновесия:

;

;   (10.2)

,

где g_x , g_y , g_z - составляющие объемных сил вдоль координатных осей.

      С учетом закона парности касательных напряжений (10.1), уравнения (10.2) содержат шесть неизвестных напряжений: s_x , s_y , s_z , t_xy , t_xz , t_yz . Поскольку количество уравнений равновесия статики (10.2), меньше, чем количество неизвестных напряжений, то в общем случае задача определения напряженного состояния в произвольной точке сплошной среды нагруженного тела, является статически неопределимой.

10.2. Определение напряжений на произвольной площадке. Главные оси и главные напряжения

      Из напряженного тела в окрестности произвольной точки выделим элементарный объем в виде тетраэдра (рис. 10.2).

      Ориентация площадки в пространстве задается направляющими косинусами нормали v к ней - l = cos (x, v), m = cos (y, v), n = 
= cos  (z, v).

      Вектор полного напряжения на произвольной площадке abc спроецируем на оси x, y и z. Обозначим эти проекции через , , . Обозначая площадь треугольников abc, a0b, b0c, a0c через dF, dF_x , dF_y , dF_z , соответственно будем иметь:

dF_x = dFЧl;     dF_y = dFЧm;     dF_z = dFЧn.  (10.3)

      Проецируя все силы, действующие на выделенный элемент, последовательно на оси x, y, z и с учетом (10.3) получим:

X = s_x Ч l + t_yx Ч m + t_zx Ч n;

Y = t_yx Ч l + s_y Ч m + t_zy Чn;   (10.4)

Z = t_zx Ч l + t_zy Ч m + s_z Чn.

      Выразим нормальное напряжение s_v на наклонной площадке через X, Y, Z:

s_v = X Ч l + Y Ч m + Z Ч n .   (10.5)

      Отcюда, с учетом (10.3) получим

s_v = s_x Чl ² + s_y Чm ² + s_z Чn ² + 2 t_yzЧmЧn + 2 t_zxЧnЧl + 2 t_xyЧlЧm . (10.6)

      Рассмотрим множество секущих площадок произвольной ориентации, проходящих через исследуемую точку. По нормали к каждой площадке отложим отрезок r = f (s_v ), координаты конца вектора которого будут следующими:

x = r Ч l;    y = r Ч m;    z = r Ч n.

      Исключая из (10.6) направляющие косинусы, получим

s_v Чr ² = s_x Чx ² + s_y Чy ² + s_z Чz ² + 2 t_yzЧy z + 2 t_xyЧx y + 2 t_xzЧx z . (10.7)

      Принимая обозначение

где k - произвольная постоянная, из (10.6) получим:

s_x Чx ² + s_y Чy ² + s_z Чz ² + 2 t_yzЧy z + 2 t_xyЧx y + 2 t_xzЧx z = k. (10.8)

      Из курса аналитической геометрии известно, что (10.8) представляет собой уравнение поверхности второго порядка в системе координат x, y, z. Следовательно путем поворота системы координат уравнение (10.8) можно преобразовать таким образом, чтобы попарные произведения исчезли, или иначе говоря коэффициенты попарных произведений принимали нулевые значения.

      Это значит, что в произвольной точке напряженного тела существует такое положение системы координат x, y, z, в которой касательные напряжения t_xy , t_xz , t_yz равны нулю.

      Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них - главными напряжениями. Принимаются такие обозначения: s₁ і s₂ і s₃.

Рис. 10.2