Сопромат

      Если в окрестности рассматриваемой точки определены положение главных площадок и главные напряжения, то существенно упрощается система уравнений (10.4). Они принимают вид:

X = s₁ Ч l;   Y = s₂ Ч m; 
Z = s₃  Ч n.

      Так как l ² + m ² + + n ² =1, то получим:

Рис. 10.3    

Следовательно, геометрическое место концов вектора полного напряжения Р (X, Y, Z) образует эллипсоид, полуосям которого являются главные напряжения s₁, s₂, s₃ (рис. 10.3). Полученный эллипсоид носит название эллипсоида напряжений. В случае равенства двух главных напряжений эллипсоид принимает форму тела вращения. Тогда каждая плоскость, проходящая через ось вращения становится главной. В случае, если все три главных напряжения равны между собой, то эллипсоид принимает форму сферы и в исследуемой точке все плоскости являются главными.

      Рассмотрим как определяются величины главных напряжений через заданные значения шести компонентов напряжений s_x , s_y , s_z , t_xy , t_xz , t_yz в произвольной системе координат x, y, z. Возвращаясь к рис. 10.2, предполагаем, что наклонная площадка является главной.

      Обозначая полное напряжение на этой площадке через S можем записать:

X = SЧl ; Y = SЧm ; Z = SЧn .    (10.9)

      Соотношения (10.4) преобразуются к виду:

S Ч l = s_x Ч l + t_yx Ч m + t_zx Ч n;

S Ч m = t_yx Ч l + s_y Ч m + t_zy Ч n;   (10.10)

S Ч n = t_zx Ч l + t_zy Ч m + s_z Ч n;

или 

(s_x - S) Ч l + t_yx Ч m + t_zx Ч n = 0;

t_yx Ч l + (s_y - S) Ч m + t_zy Ч n = 0;   (10.11)

t_zx Ч l + t_zy Ч m + (s_z - S) Ч n = 0.

      Так как, l ² + m ² + n ² = 1, следовательно, l, m, n одновременно не могут быть равны нулю. Для того, чтобы система однородных уравнений (10.11) относительно l, m, n имела бы решение, отличное от нулевого, необходимо, чтобы определитель этой системы был равен нулю.

.   (10.12)

Отсюда

S ³ - S ² I₁ + S I₂ - I₃ = 0,   (10.13)

где

I₁ = s_x + s_y + s_z ;

I₂ = s_y s_z + s_z s_x + s_x s_y - t_yx ² + t_yz ² + t_xz ²;

.     (10.14)

      Все три корня уравнения (10.13) являются вещественными и определяют значения главных напряжений s₁, s₂, s₃. Коэффициенты I₁, I₂, I₃ называются инвариантами напряженного состояния и их значения не зависят от выбранной системы координат x, y, z.

      Для определения положения главных площадок необходимо вычислить значения направляющих косинусов следующим образом. В два из трех уравнений системы (10.11) подставляются значения главных напряжений s₁, s₂, s₃, а в качестве третьего используется равенство l ² + m ² + n ² = 1.

      Если I₃ = 0 очевидно, что один из корней уравнения (10.7) также будет равен нулю. В этом случае напряженное состояние является плоским или двухосным. В частности, напряженное состояние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого имеется s₁ = -s₃ , s₂ = 0.

Рис. 10.4

      Если I₂ = I₃ = 0 то из уравнения (10.13) очевидно, что имеет место два нулевых корня и только одно из главных напряжений отлично от нуля. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. Данное обстоятельство имеет место при простом сжатии или растяжении бруса или при чистом изгибе.

      На практике, если имеется сложное напряженное состояние, для выполнения расчетов на прочность необходимо выразить напряжения, действующие на произвольной площадке, проходящей через данную точку, через главные напряжения. С этой целью рассмотрим равновесие призмы, показанной на рис. 10.4.

      Проецируя все силы, действующие на призму, на оси, совпадающие с векторами s и t (рис. 10.4), получим:

;

.

      Эти выражения можно преобразовать к виду:

   (10.15)

      Рассматривая совместно полученные выражения для s и t, можно получить следующее выражение:

.

      В системе координат s, t это уравнение окружности. Полученный круг называется кругом Мора или круговой диаграммой напряженного состояния. В заключение заметим, что при имеет место:

3. Деформированное состояние в точке. 
   Геометрические уравнения и уравнения

неразрывности 

      Происходящие при нагружении тела перемещения его точек можно задать при помощи совокупности трех функций (см. п.1.5): u (x, y, z), v (x, y, z) и w (x, y, z), определяющих перемещения вдоль координатных осей x, y и z, соответственно. Достаточно просто можно показать, что деформации (линейные и угловые) выражаются через функции перемещений, (в случае малых перемещений, которые рассматриваются в сопротивлении материалов):

 (10.16)

где e_i - линейная деформация вдоль i-той оси координат, g_ij -угловая деформация в плоскости i 0j (i , j = x,  y,  z) (см. рис. 10.1).