Сопромат

      При изучении динамики упругих систем последние принято классифицировать, прежде всего, по числу их степеней свободы. Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение материальных точек системы в произвольный момент времени.

Рис. 8.1

      Так для системы, изображенной на рис. 8.1, если пренебречь массой стержней, положение сосредоточенной массы m в плоскости чертежа полностью будет определяться двумя независимыми координатами - линейными перемещениями в вертикальном и горизонтальном направлениях. То есть рассматриваемая система будет иметь две степени свободы. Заметим что, так как во всех реальных системах масса конструкции распределена по их объему, поэтому любая произвольно взятая точка является материальной. Следовательно, для определения положения системы в произвольный момент времени, строго говоря, необходимо знать перемещения всех точек рассматриваемой системы. Откуда следует, что все реальные системы в точной постановке задачи, имеют бесконечное число степеней свободы, так как число материальных точек, принадлежащей любой реальной системы, равно бесконечности.

      При исследовании колебаний упругих систем различают собственные (свободные) и вынужденные колебания. Под собственными колебаниями понимается движение системы при отсутствии внешних воздействий. Если колебание системы сопровождается действием внешних сил, то движение называется вынужденным.

      Промежуток времени за который совершается полный цикл колебаний, носит название периода собственных или вынужденных колебаний, смотря по тому, о каких колебаниях идет речь. Период колебаний обозначается через Т. Величина обратная Т, называется частотой колебаний:

,

и представляет собой число колебаний в течение одной секунды. В технике в большинстве случаев используется понятие круговой частоты w, представляющей собой число колебаний за 2 p секунд.

8.2. Колебания системы с одной степенью свободы

      Рассмотрим систему, изображенную на рис. 8.2. Пренебрегая массой и продольными деформациями консольного бруса, рассмотрим колебания массы m, закрепленной на свободном конце бруса, при действии силы Р (t), изменяющейся по гармоничному закону по времени t :

Р (t) = Р_0Чsin w t,    (8.1)

Рис. 8.2

где Р₀ - амплитуда или максимальное значение силы Р (t), а w -круговая частота ее изменения.

  При составлении уравнения движения массы m введем в рассмот-рение силу инерции P_ИН =-m , силу сопротивления Р_C=-a , всегда направленную против движения системы (где a -коэффициент затухания) и внешнюю силу Р (t). Перемещение y (t) в любой момент времени можно определить из уравнения:

.  (8.2)

где d₁₁ - перемещение массы m по вертикали под действием вертикальной единичной силы.

      Отметим, что природа сил сопротивления может быть результатом сопротивления внешней среды или внутреннего трения, возникающего в частицах материала конструкции при деформации системы. Принимаем обозначения:

,   (8.3)

где j - частота собственных колебаний конструкции, n - коэффициент затухания. Тогда уравнения движения (8.2) принимает следующий вид:

.  (8.4)

      Решение (8.4) при начальных условиях t = 0, y = y₀, , с учетом n < j, принимает вид:

.  (8.5)

      Здесь приняты следующие обозначения:

 - амплитуда собственных колебаний системы;

 - собственная частота колебаний системы с учетом сил затухания; - сдвиг фазы по времени, возникающий при собственных и вынужденных колебаниях, соответственно;

   (8.6)

- называется коэффициентом динамичности, он показывает во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением возмущающей статической силы.

      График b в зависимости от отношения частот и параметра затухания n приведен на рис. 8.3. Откуда следует, что при w ® j Р₀Чd₁₁Чb, т.е. амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает, а при n ® 0, w ® j, получаем Р₀Чd₁₁Чb ® Ґ. Это явление носит название резонанса. При n = 0 выражение для b упрощается и принимает вид:

.

      При больших t первое слагаемое из (8.5), описывающее свободные колебания системы, затухает и колебания системы описываются выражением:

.   (8.7)

      Заметим, что решение (8.5) при нулевых начальных условиях ( ), при любых значениях t описывается выражением (8.7).

      При выполнении практических расчетов, при известном коэффициент b, легко определяется величина максимальных динамических напряжений и перемещений в упругих элементах заданной системы:

s^ДИН = s^СТ Ч b;  y^ДИН = y^СТ Ч b;

y^ДИН = P₀ Ч d₁₁Ч b; y^CT = P₀ Ч d₁₁,

где под s^СТ, y^CT понимается то напряжение и перемещение соответственно, которые возникали бы в системе при статическом приложении максимального значения возмущающей силы величиной P₀.

Рис. 8.3

      В случае, если сопоставление частот w и j указывает на их опасную близость w » j, т.е. опасность возникновения резонанса, путем конструктивных мероприятий добиваются изменения той или иной частоты. При этом, наиболее целесообразным является изменение частот в сторону увеличения отношения с тем условием, чтобы добиться наиболее заметного снижения коэффициента b.

8.3. Пример расчета (задача № 16)

      Определить динамический прогиб и напряжения в опасных сечениях балок КD и АВ, возникающих под действием работающего электромотора весом G = 10 кН (рис. 8.4, а). Вес неуравновешанных частей ротора Р = 1 кН. Эксцентриситет вращающихся масс е = 0,02 м. Число оборотов ротора n = 600 об/мин. Массой балок в расчетах пренебречь. Поперечное сечение балок КD и АВ состоит из двух двутавров №20 (I_x = 1840Ч10^-8 м⁴; W_x = 184Ч10^-6 м³). Модуль упругости стали Е = 2Ч10⁸ кН/м².

Рис. 8.4

      Решение

      1. Определение статического прогиба в сечении С балки КD и статического напряжения в сечении у заделки А. Из уравнений равновесия статики Sm_D = 0 и Sm_K = 0 найдем опорные реакции в балке КD (рис. 8.4, б):

кН.

      На балку АВ в точке В (К) опоры на консоль передается нагрузка Р = 5 кН, равная по величине опорной реакции R_K , но обратная по направлению. Из уравнений Sm_A = 0 и еy = 0 определяем реактивные усилия в заделке А балки АВ: М_A = 10 кНЧм; R_А = 5 кН. Определив опорные реакции в балках, строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов М для балок КD и АВ (рис. 8.4, в, г, е, ж). Зная величины изгибающих моментов, возникающих в опасных сечениях балок, определяем статические напряжения в сечениях С и А:

кН/м²;

кН/м².

      Для определения статического прогиба в точке С балки КD вначале предполагаем, что эта балка опирается на абсолютно жесткое основание. Используя метод начальных параметров, составляем уравнение прогибов, приняв начало координат в сечении D.

,

где y₀ = 0, М₀ = 0, j₀ № 0, .

      Для нахождения j₀ составим уравнение прогиба для сечения К в котором прогиб равен нулю из условий закрепления:

      Так как y₀ = 0, то, решая это уравнение, получим:

.

      Подставив найденное значение j₀ в уравнение прогиба для сечения С, получим формулу для определения :