Сопромат

где I_x - минимальный момент инерции сечения.

      Для определения выражения изгибающего момента M_x (z), действующего в поперечном сечении стержня, расположенном на расстоянии z от начала системы координат, применяя метод сечений к системе, изображенной на рис. 7.2 и рассматривая равновесие отсеченной части системы, расположенной левее от заданного сечения, получим:

.     (7.3)

      При положительном прогибе в выбранной системе координат знак “минус” означает, что момент является отрицательным

      Введем следующее обозначение:

.     (7.4)

      Тогда уравнение (7.2) преобразуется к виду:

.    (7.5)

      Решение (7.5) записывается в виде:

.   (7.6)

      Постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий задачи:

y (0) = 0;      y (l) = 0.

      Из первого условия вытекает, что С₂ = 0, а из второго получается, что либо С₁ = 0 (что нам неинтересно, т.к. в этом случае y (z) є 0), либо

sin kl = 0.    (7.7)

      Из (7.7) следует, что kl = pn, где n - произвольное целое число. Учитывая (7.4), получаем:

.    (7.8)

      Это означает, что для того, чтобы центрально сжатый стержень принял криволинейную форму, необходимо, чтобы сжимающая сила была равна какому-либо значению из множества Р_n по (7.8). Наименьшее из этих значений называется критической силой Р_KP и будет иметь место при n = 1:

Р_KP = .    (7.9)

      Эта сила носит название первой критической эйлеровой силы.

      Следовательно, согласно (7.6) при Р = Р_KP выражение прогибов можно записать в следующем виде:

.    (7.10)

      Из (7.10) видно, что прогибаться стержень будет по синусоиде. Графики функций прогибов y (z) при различных n изображены на рис. 7.3.

Рис. 7.3

      Из (7.9) видно, что критическая с точки зрения устойчивости сила зависит от жесткости стержня и его длины, но никак не зависит от прочностных свойств материала стержня, т.е. два стержня одинаковой длины с идентичными граничными условиями их закрепления, изготовленных из различных материалов, но имеющих одинаковую изгибную жесткость, теряют устойчивость при одном и том же значении сжимающей силы. В этом заключается значительная разница между проверкой прочности стержня на сжатие и растяжение и проверкой на устойчивость.

      При изменении условий закрепления концов стержня необходимо решение дифференциального уравнения его изгиба, но уже в виде:

.   (7.11)

      Анализ этих решений говорит о том, что все они могут быть представлены в следующем виде:

.    (7.12)

где m - коэффициент приведения длины. Он показывает, во сколько раз следует изменить длину шарнирно опертого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась бы критической силе стержня длиной l в рассматриваемых условиях закрепления. На рис. 7.4 показано несколько видов закрепления стержня и указаны соответствующие значения коэффициента m. 

7.2. Границы применимости решения Эйлера. 
Формула Ясинского

      Как показали опыты, решение Эйлера подтверждалось не во всех случаях. Причина состоит в том, что формула Эйлера была получена в предположении, что при любой нагрузке стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Следовательно, его нельзя применять в тех ситуациях, когда напряжения превосходят предел пропорциональности. В связи с этим найдем границы применимости решения Эйлера:

Рис. 7.4

,  (7.13)

где  - радиус инерции сечения. Если стержень имеет одинаковые опорные закрепления в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции, то при определении значения критической силы и критического напряжения, необходимо брать наименьшее значение момента инерции и, соответственно, радиуса инерции поперечного сечения.

      Введем понятие гибкости стержня:

.

      Тогда (7.13) принимает вид:

.   (7.14)

      Из (7.14) следует, что напряжение s_КР возрастает по мере уменьшения гибкости стержня. Заметим, что стержень, имеющий неодинаковые опорные закрепления в главных плоскостях и, следовательно, неодинаковые приведенные длины, теряет устойчивость в той главной плоскости, в которой гибкость стержня имеет наибольшее значение.

      Формула Эйлера неприемлема, если напряжения s_КР > s_П, где s_П - предел пропорциональности. Приравнивая (7.14) к пределу пропорциональности, получим предельное значение гибкости:

.   (7.15)

Если l > l_ПРЕД , то формулу Эйлера можно применять. В противном случае ею пользоваться нельзя. Для стали Ст.3 l_ПРЕД  = 100.

      В ситуациях, когда напряжения превышают предел пропорциональности, получение теоретического решения осложняется, т.к. зависимость между напряжениями и деформациями становится нелинейной. В связи с этим, в этих случаях пользуются эмпирическими зависимостями. В частности, Ф.С. Ясинский предложил следующую формулу для критических по устойчивости напряжений:

,   (7.16)

где a, b - постоянные, зависящие от материала, так для стали Ст.3 a = 3,1Ч10⁵ кН/м² , b = 11,4Ч10² кН/м².

      При гибкостях стержня, находящихся в диапазоне 0< l< 40ё50, стержень настолько “короток”, что его разрушение происходит по схеме сжатия, следовательно, критические напряжения можно приравнять в этом случае к пределу пропорциональности. Обобщая вышесказанное, зависимость критических напряжений s_КР от гибкости стержня l можно представить, как это сделано на рис. 7.5. 

Рис. 7.5 
 
 
 
 
 
 
 

7.3. Расчет сжатых стержней на устойчивость

      Как правило, основная проблема при расчете сжатых стержней состоит в том, чтобы сжимающие напряжения s не превышали бы критических значений по устойчивости s_КР , т.е.

.   (7.17)

      При продольном изгибе центрально сжатый стержень теряет несущую способность, когда напряжения в его поперечных сечениях достигают критических значений. Поэтому необходимо ввести в расчет коэффициент запаса устойчивости n по отношению к критическим напряжениям, с помощью которого и определяется допускаемое напряжение при расчете на устойчивость:

.

      При расчете же стержней на растяжение применяют условие s < R, где R - расчетное сопротивление на растяжение.

      Для унификации расчетов на растяжение и сжатие введем соотношение правых частей двух последних неравенств:

,    (7.18)

откуда . И тогда (7.17) можно записать так: s < jR.

      Величина j носит название коэффициента уменьшения расчетного сопротивления при расчете на сжатие и является функцией от гибкости стержня l (табл. 5).

      Таким образом, окончательно формула для расчета стержней на устойчивость принимает следующий вид:

.    (7.19)

      Несмотря на простоту выражения (7.19) расчет сжатых стержней производится, как правило, в несколько этапов. Это связано с тем, что величина j зависит от формы и размеров сечения, поэтому не может быть назначена заранее. В связи с этим, подбор сечения осуществляют итеративно, постепенно приближаясь к тому, чтобы разница между напряжением сжатия s и расчетным сопротивлением на растяжение R не превышала бы 3-5%.

Таблица 5