Сопромат

7.4. Пример расчета (задача № 15)

Рис. 7.6

      Заданную стойку двутаврового (№30) поперечного сечения центрально сжатую силой Р (рис. 7.6, а), рассчитать на устойчивость, а также указать положительные и отрицательные стороны конструкции этой стойки. В целях минимизации расходов материальных ресурсов можно заменить двутавровое сечение стойки более рациональным сечением из двух швеллеров, соединенных планками на сварке (рис. 7.6, б). Подобрать сечения из двух швеллеров и сравнить результаты по площади с сечением из двутавра. Материал стоек - сталь Ст.3, расчетное сопротивление при растяжении R = 1,9Ч10⁵ кПа.

      Решение

      1. Расчет на устойчивость стойки из двутавра. Проверка устойчивости сжатых стержней производится по формуле (7.19). Из сортамента ГОСТ 8239-72 выписываем необходимые данные для двутавра №30: F = 46,5Ч10^-4 м²; i_x = 0,123 м; i_y = 0,0269 м.

      Тогда из формулы (7.19) имеем:

Р = j F R .    (7.20)

      Для нахождения величины j нужно знать максимальную гибкость стойки, которая определится из формулы

,

где l₀ - приведенная (свободная) длина стойки, l₀ = m l. Здесь m -коэффициент приведенной длины, зависящий от способа закрепления концов стойки (для нашего примера m = 0,5), l - длина стойки; i_min - минимальный радиус инерции сечения стойки (в данном случае - радиус инерции относительно оси y). Таким образом,

.

      По табл. 5 находим j при l = 55,76, интерполируя до третьего знака после запятой:

при l = 50  j = 0,89;

при l = 60  j = 0,86.

      Поэтому при l = 55,76

      Подставляя значения F, j и R в формулу (7.20), получим допустимое значение сжимающей силы с точки зрения устойчивости рассматриваемой стойки:

Р = 0,873Ч46,5Ч10^-4Ч1,9Ч10⁵ = 771 кН.

      Преимуществом стойки из двутавра является простота конструкции и малая трудоемкость изготовления и монтажа, недостатком - неравная устойчивость в разных плоскостях.

      2. Подбор сечения стойки из двух швеллеров. При рассмотрении этого вопроса составное сечение стойки следует рассматривать как цельное, и поэтому расчет приведенной гибкости можно не выполнять. Подбор составного сечения стойки будем производить путем последовательного приближения. Для этого задаемся произвольным значением j, подбираем сечение и сопоставляем возникающие в нем напряжения с расчетным сопротивлением. Эта операция производится до тех пор, пока напряжение, возникающее в стойке, будет достаточно близким к расчетному сопротивлению (отклонение не должно превышать ± 5%).

      Примем j = 0,6. Из (7.20) определим требуемую площадь F сечения двух швеллеров:

      По ГОСТ 8240-72 принимаем швеллер № 24а, для которого

.

      Для обеспечения равноустойчивости стойки из двух швеллеров нужно, чтобы гибкость ее была примерно одинаковой в обеих плоскостях. Для принятого сечения из двух швеллеров определим максимальную гибкость:

.

      По табл. 5 находим значение j для полученной гибкости:

при l = 10  j = 0,99;

при l = 20  j = 0,97.

      Для l = 15,24:

;      F = 2 F_шв = 0,00658 м².

      Определяем напряжение в стойке:

кПа Ј R .

      Недонапряжение составляет

      Необходимо уменьшить сечение стойки. Принимаем стойку из швеллеров № 20 (F_шв = 0,00234 м²; i_x = 0,0807 м). Определим гибкость:

      По табл. 5 для l = 18,59 находим: j = 0,973, и учитывая, что F = 2F_шв = 0,00468 м², получим:

кПа Ј R.

      Недонапряжение составляет

      Принимаем стойку из швеллеров №18 (F = 0,00207 м²; i_x =  
= 0,0724 м), гибкость которой принимает значение:

      По табл. 5 для l = 20,72 находим: j = 0,973; F = 0,0414 м²:

кПа.

      Перенапряжение составляет

,что допустимо.

      Окончательно принимаем стойку из двух швеллеров №18. Из сортамента ГОСТ 8240-72 выписываем необходимые данные:

I_x = 1090Ч10^-8 м⁴, I_y = 86Ч10^-8 м⁴, z₀ = 0,0194 м, h = 0,18 м, b = 0,07 м.

      Момент инерции поперечного сечения стойки из двух швеллеров относительно оси x: Момент инерции составного сечения относительно оси y можно изменять, сближая или удаляя швеллеры один относительно другого. Определим расстояние между швеллерами из условия, что I_y = 1,2ЧI_x . Из рис. 7.6, б имеем с = а +2Чz₀ , где а - расстояние между собственными осями y каждого из швеллеров. Тогда:

,

отсюда

м.

      Монтажное расстояние между швеллерами будет с = а + 2Чz₀  = = 0,1537 + 2Ч0,0194 = 0,1925 м, принимаем c = 0,192 м. Сравнивая сечение из двух швеллеров с заданным двутавровым, видим, что площадь заданного сечения составляет 46,5Ч10^-4 м², а полученного из двух швеллеров - 41,4Ч10^-4 м². Таким образом, расход металла на стойку из двух швеллеров (без учета металла на соединительные планки) будет меньше в 46,5/ 41,4 = 1,12 раза, или на 12%, чем на стойку из одного двутавра.

      Однако конструкция стойки из двух швеллеров трудоемка в изготовлении по сравнению со стойкой из двутавра. Экономическое преимущество подобранного сечения стойки, состоящего из двух швеллеров, по сравнению с двутавром, объясняется более рациональным распределением ее изгибных жесткостей в различных направлениях. Это приводит к выравниванию значений моментов инерции относительно главных центральных осей инерции сечения и тем самым, к равноустойчивости стойки в указанных направлениях.

      Это положение является важным обстоятельством для разработки оптимальных конструктивных решений с позиции устойчивости.

8. ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

8.1. Основные определения

      В предыдущих разделах рассматривалось такое нагружение конструкций, когда прикладываемые усилия изменялись настолько медленно, что возможно было считать их статическими. В инженерной практике же часто встречаются случаи когда нагрузка достаточно быстро изменяет свое направление или величину. Такое нагружение называется динамическим и вызывает значительные силы инерции в сооружении, которые приводят к появлению дополнительных (к статическим) напряжений и деформаций.

      Известны случаи, когда инженерные конструкции, рассчитанные с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разрушались под действием сравнительно небольших динамических сил.