Сопромат

6. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ 
СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

6.1. Стержневые системы. 
Степень статической неопределимости

      Под стержневой системой понимается всякая конструкция, состоящая из элементов, имеющих форму бруса. Если элементы конструкции работают только на растяжение или сжатие система называется фермой (рис. 6.1). Ферма состоит из шарнирно опертых между собой прямых стержней, образующих треугольники и для нее характерно приложение внешних сил в узлах заданной системы.

      Если элементы стержней системы работают в основном на изгиб или кручение, то такая система называется рамой (рис. 6.2).

      Если все элементы стержневой системы расположены в одной плоскости, в которой также действуют все внешние силы, включая реакции опор, то система называется плоской (рис. 6.1, 6.2).

      Если все элементы заданной системы расположены в одной плоскости, а внешние силы действуют в перпендикулярной плоскости, то система называется плоскопространственной (рис. 6.3). Стержневые системы, не относящиеся к двум указанным категориям, называются пространственными (рис. 6.4).

      Все стержневые системы принято разделять на статически определимые и статически неопределимые. Под статически определимой понимается такая система, для которой усилия во всех ее элементах могут быть определены по методу сечений с применением лишь уравнений равновесия. Если этого сделать нельзя, то такая система называется статически неопределимой.

      Разность между числом неизвестных усилий (реакций опор и внутренних силовых факторов) и числом независимых уравнений равновесий, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, называется степенью статической неопределимости системы.

      Связи, наложенные на систему, бывают внешними и внутренними. Под внешними понимают ограничения, накладываемые на абсолютные перемещения точек системы, как единое целое. Внутренние же связи ограничивают взаимные (относительные) перемещения элементов системы. Следовательно, статическая неопределимость системы может быть вызвана как внешними, так и внутренними связями.

      Если рассматривать внешние связи, то можно отметить, что положение жесткого тела на плоскости x,y характеризуется тремя независимыми параметрами - координатами x, y и углом поворота рассматриваемой плоскости. Таким образом, необходимое для равновесия число наложенных внешних связей должно быть равно трем (по количеству уравнений равновесия - еx = 0, еy = 0, еm = 0). Если плоская система состоит из D частей, каждую из которых можно рассматривать как жесткое тело, то количество параметров, определяющих положение этой системы будет равно 3 D. Каждый шарнир, соединяющий две части системы, разрешает лишь их взаимный поворот, устраняя возможность их взаимных смещений - следовательно он уменьшает количество возможных перемещений системы на две единицы. Кроме этого, каждый опорный стержень устраняет возможность перемещения системы в соответствующем направлении. Таким образом, подсчитать степень статической неопределимости системы, определяемую внешними связями, можно по следующей формуле:

W = 3 D - 2 Ш - С,

где D - число частей (“дисков”) системы, каждая из которых может рассматриваться как абсолютно жесткое тело, Ш - количество шарниров в системе, соединяющих “диски”, С - число опорных стержней. Для статически определимых систем W =0. При W<0 система является статически неопределимой.

      Наиболее характерные типы внешних связей и их схематичные изображения рассмотрены в п. 5.1.

      На рис. 6.5 показана плоская рама, имеющая в первом (а) случае три внешние связи, а во втором случае (б) - пять. Значит, в первом случае рама имеет необходимое для статической определимости количество внешних связей, а во втором же - две дополнительные внешние связи. Однако в обеих ситуациях рама статически неопределима, т.к. конфигурация ее такова, что не позволяет определить усилия во всех ее элементах, используя только уравнения равновесия. Следовательно, для окончательного ответа на вопрос о статической определимости системы необходимо проведение совместного анализа наложенных на систему внешних и внутренних связей (более подробно этот вопрос рассматривается в курсе строительной механики).

Рис. 6.5

      Методы расчета статически неопределимых систем основаны на определении перемещений в ее точках. Выше мы рассматривали метод начальных параметров для вычисления перемещений в балках. При всех достоинствах этого метода он обладает одним существенным недостатком - при большом количестве участков вычислительные формулы становятся весьма громоздкими. Особенно это существенно в случае криволинейной оси стержневой системы.

      В связи с этим, рассмотрим более универсальный метод определения перемещений - метод Мора, названный так по имени немецкого ученого, предложившего его.

6.2. Определение перемещений методом Мора

      Суть метод Мора в следующем. Если необходимо определить перемещение в заданной точке по заданному направлению, то наряду с заданной системой внешних сил в этой точке прикладывается внешнее усилие Ф = 1 в интересующим нас направлении.

      Далее составляется выражение потенциальной энергии системы, состоящей из n участков с учетом одновременного действия заданной системы внешних сил и силы Ф :

  (6.1)

,

где К_х , К_у - безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения и учитывают неравномерность распределения касательных напряжений в сечении при поперечном изгибе. Так, например, для прямоугольника К_х = К_у = 1,2, а для двутавра при изгибе в плоскости его стенки K = F/F_CT , где F - площадь всего сечения двутавра, F_CT - площадь стенки; N_z , Q_x  , Q_y  , M_z , M_x , M_y  - внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной стержневой системы; -внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях заданной системы, от действия усилия Ф = 1.

      Дифференцируя выражение (6.1) по Ф, и полагая после этого Ф = 0, находим искомое перемещение в искомой точке в нужном направлении.

. (6.2)

      Полученные интегралы называются интегралами Мора и широко применяются при вычислении перемещений стержневых систем.

      Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирно-стержневые системы - фермы), в формуле Мора (6.2) отличен от нуля будет только слагаемое, содержащее продольные силы. При расчете балок или рамных систем, работающих в основном на изгиб, влияние поперечной и продольной силы на перемещение несущественно и в большинстве случаев их влияние не учитывается. В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают, в основном, на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно ограничиваются рассмотрением слагаемых, содержащих изгибающие и крутящие моменты.

      Подробно рассмотрим случай, когда брус работает только на изгиб (M_x № 0, N_z = M_z = M_y = Q_x = Q_y = 0). В этой ситуации выражение (6.2) принимает вид:

.    (6.3)

      Согласно (6.3) для определения перемещения произвольной точки в произвольном направлении, последовательно необходимо выполнять следующее:

      1. Построить эпюру моментов М_x  от заданной системы внешних сил;

      2. Исключая внешние силы и в точке, где необходимо определить перемещение по заданному направлению, прикладывается единичное усилие (сила - если требуется определить линейное перемещение; момент - если требуется определить угловое перемещение), и от действия единичного усилия строится эпюра моментов ;

      3. По формуле Мора (6.3) вычисляется искомое перемещение.

Рис. 6.6

      Если принять E I = const, то перемещение в некоторой точке стержня определяется как интеграл от произведения двух функций моментов - М_x и . В общем виде интеграл Мора можно выразить следующей формулой:

.   (6.4)

      Часто встречаются случаи, когда на участке стержня длиной l необходимо вычислить интеграл Мора при условии, что по крайней мере одна из функций - линейная (рис. 6.6). Пусть f₂ = b + k z, тогда из (6.4) получим :

  (6.5)

где W₁ - площадь эпюры f₁ ; f₂ (z_C) - ордината линейной эпюры под центром тяжести криволинейной эпюры (рис. 6.6).

      Приведенное решение носит имя русского ученого Верещагина, впервые его получившего. Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования выражения (6.4) в случае линейности хотя бы одной из подынтегральных функций существенно упрощается и сводится к перемножению площади криволинейной эпюры на ординату второй (линейной) функции под центром тяжести криволинейной.

      Используя способ Верещагина, приведем результаты вычисления интегралов Мора для двух наиболее часто встречающихся случаев:

      1. Обе функции f₁  и f₂ - линейные (рис. 6.7), тогда

;   (6.6)

      2. Функция f₁ - квадратная парабола, f₂ - линейная функция (рис. 6.8). Такая ситуация встречается, когда на участке длиной l приложена равномерно распределенная нагрузка q, тогда

,    (6.7)

где f - “стрелка” квадратной параболы (рис. 6.8), .

      В общем случае, если площадь W эпюры моментов имеет сложную геометрию и представляется возможным ее разбить на площади W_k (k = 1,2,3,...), имеющие элементарную геометрию, то интеграл Мора I от произведения эпюры W на эпюру моментов M, может быть представлен в виде:

.  (6.8)

      Для расчета усилий в статически неопределимых стержневых системах существуют различные методы. Здесь рассмотрим метод сил.

6.3. Метод сил

      Суть этого метода заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется соответствующими силами и моментами. Их величины, в дальнейшем, подбираются так, чтобы перемещения системы соответствовали тем бы ограничениям, которые на нее накладываются отброшенными связями.