Сопромат

      Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой заданной системы (рис. 6.9, а) можно подобрать, как правило, различные основные системы (рис. 6.9, б, в), однако их должно объединять следующее условие - основная система должна быть статически определимой и геометрически неизменяемой (т.е. не должна менять свою геометрию без деформаций элементов).

Рис. 6.9

      Рассмотрим систему, которая дважды статически неопределима (рис. 6.10, а). Заменим в основной системе действие отброшенных связей неизвестными усилиями X₁ и X₂ (рис. 6.10, б). Принятая основная система будет работать также, как и заданная, если на нее наложить условие отсутствия вертикальных перемещений в точках A и B (т.е. в тех местах, где в заданной системе стоят опоры):

  (6.9)

Рис. 6.10

      Уравнения (6.9) называются уравнениями совместности деформаций и при их выполнении фактически устанавливается условие эквивалентности между заданной и основной системой при действии внешней силы Р и неизвестных усилий X₁ и X₂ . На основании принципа независимости действия сил (6.9) можно представить в следующем виде:

  (6.10)

где y_A(P), y_B(P), y_A(X₁), y_B(X₁), y_A(X₂), y_B(X₂) - вертикальные перемещения точек А и В основной системы соответственно от действия сил Р, Х₁, Х₂.

      Вводя обозначения d₁₁, d₁₂, D_1P - вертикальные перемещения точки А основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X₁ = 1, X₂ = 1, от внешней силы Р; d₂₁, d₂₂, D_2P -вертикальные перемещения точки B основной системы, соответственно, от последовательного действия сил X₁ = 1, X₂ = 1, от внешней силы Р, и учитывая существование линейности связи между силой и перемещением, систему уравнений (6.3) можно преобразовать в канонической форме:

   (6.11)

      Последние уравнения носят названия канонических уравнений метода сил.

      Для вычисления коэффициентов при неизвестных X₁ и X₂ используют формулу Мора:

, (i, j = 1,2).   (6.12)

      Легко видеть, что , это свойство называется законом парности коэффициентов при неизвестных. Свободные же коэффициенты определяются по формуле:

.    (6.13)

      После решения системы (6.11) определяются величины неизвестных усилий X₁ и X₂ . Если их значения получились отрицательными, это означает, что реально они действуют в направлении противоположном принятому. Окончательная эпюра моментов определяется по зависимости

.   (6.14)

      Эпюра поперечных сил Q_OK может быть построена по эпюре моментов М_ОК с использованием зависимости и величин приложенных к системе усилий.

6.4. Пример расчета (задача № 14)

      Для балки (рис. 6.11) задано: l₁ = 2 l₂ , P = q l₁, m = q .

Рис. 6.11

      Требуется:

      1. Определить степень статической неопределимости системы и составить уравнение совместности деформаций;

      2. Определить коэффициенты и решить каноническое уравнение метода сил;

      3. Построить эпюры моментов М и поперечных сил Q.

      Решение

      1. Определить степень статической неопределимости системы и составить уравнение совместности деформаций. Используя зависимость W из пункта 6.1, подсчитаем степень статической неопределимости системы. D = 1, Ш = 0, С = 4 ® W = 3Ч1 - 2Ч0 - 4= -1, следовательно система один раз статически неопределима. Основную систему получим путем отбрасывания опоры в точке А и замены ее действия неизвестным усилием X₁ (рис. 6.12). Каноническое уравнение метода сил в данном случае запишется в следующем виде:

Рис. 6.12

d₁₁ Ч X₁ + D_1P = 0.

      2. Определить коэффициенты и решить каноническое уравнение метода сил. От силы X₁ строим эпюру M₁ (рис. 6.13). Для определения величины d₁₁ воспользуемся выражением (6.12). Фактически эпюру M₁ нужно умножить саму на себя и проинтегрировать это произведение:

      Для определения свободного коэффициента в каноническом уравнении строим в основной системе эпюру моментов M_P от внешней нагрузки (рис. 6.14) и в соответствии с (6.7) получаем: 

      При вычислении D_1P было учтено, что эпюры М₁ и М_P имеют разный знак, т.к. вызывают растяжение разных волокон - об этом говорит отрицательный знак при D_1P . Кроме этого, криволинейный участок в эпюре М_P был представлен как разность трапеции и параболического сегмента.

      Напишем уравнение совместности деформаций в виде

E I d₁₁ Ч X₁ + E I D_1P = 0,

и, подставляя найденные величины перемещений, получим:

, откуда X₁ = .

      3. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Окончательную эпюру изгибающих моментов получим по формуле:

.

Рис. 6.15

      Последняя формула означает, что окончательное значение момента в любом сечении определяется путем сложения значения момента в эпюре М_P с величиной момента в эпюре М₁, увеличенной на коэффициент ql₂ (рис. 6.15, а). Эпюру Q_ОК для заданной системы можно построить следующим образом. Заменив в заданной системе опорные реакции R_A на X₁, получим статически определимую эквивалентную систему, тождественную заданной. Далее, определяя остальные опорные реакции R_C и R_D и по методу сечений составляя аналитические выражения изменения поперечных сил на каждом участке, по ним определив ординаты в характерных сечениях, строится эпюра Q_ОК (рис. 6.15,б). 
 

7. УСТОЙЧИВОСТЬ ПРЯМЫХ СТЕРЖНЕЙ

7.1. Понятие об устойчивости. Задача Эйлера

      До сих пор мы рассматривали методы определения напряжений и перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, занимались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гарантирует способности конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устойчивость конструкций.

      При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью понимается свойство способности системы сохранять свое первоначальное равновесное состояние. Если рассматриваемая система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой, а ее равновесное состояние - неустойчивым состоянием.

      При неизменной схеме нагружения, в процессе роста интенсивности нагрузок, явление перехода системы от одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими.

      В некоторых случаях при потере устойчивости, система, переходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает выполнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случаев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равновесного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Рис. 7.1

      Основная задача теории устойчивости заключается в определении критического значения внешних сил и ограничение их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости заданной системы в эксплуатационных режимах.

      Пусть вертикальный стержень закреплен нижним концом, а на свободном верхнем конце центрально приложена продольная сила Р (рис. 7.1). На начальном этапе нагружения равновесное состояние системы определяется как простое продольное сжатие, так как на данном этапе нагружения в поперечных сечениях стержня, за исключением продольной силы, остальные силовые факторы равны нулю. При дальнейшем росте внешней силы Р, обнаруживается, что при некотором ее значении P = P_KP , стержень изогнется. Так как явление изгиба тесно связано с действием изгибающих моментов, возникающих в поперечных сечениях стержня, можем утверждать, что при P = P_KP происходила смена формы равновесного состояния системы. Если на начальном этапе нагружения P < P_KP , равновесное состояние вертикального стержня определялось как простое сжатие, то при P > P_KP сжатие сопровождается изгибом. Это означает, что при P = P_KP  происходила потеря устойчивости системы.

      Заметим, что в данном случае, смена формы равновесного состояния сопровождается и сменой формы деформирования: в докритическом - прямолинейная форма деформирования, в закритическом - криволинейная, а в критическом - смешанная форма.

      Заметим также, что для гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выполняться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости:

,    (7.1)

где Р_KP - значение сжимающей силы, при котором стержень переходит из прямолинейного состояния равновесия к криволинейному; F - площадь сечения стержня.

Рис. 7.2

      Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне с двумя шарнирно опертыми концами при действии центрально сжимающей силы Р (рис. 7.2).

      Впервые эта задача была поставлена и решена Л.Эйлером в середине ХVIII века и носит его имя.

      Рассмотрим условия, при которых происходит переход от центрально сжатого состояния к изогнутому, т.е. становится возможной криволинейная форма оси стержня при центрально приложенной сжимающей силе Р. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая дифференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем:

   (7.2)