Сопромат

      Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы.

      Как и для трехстержневой статически неопределимой системы, так и для двухстержневой статически определимой системы, учет пластических деформаций позволил выявить дополнительные резервы систем по несущей способности. Если бы мы ограничились только упругим расчетом, расчетная несущая способность двухстержневой системы была бы равна P = P₁ = 86,6 кН. А за счет учета упруго-пластической работы элементов системы, как было показано, несущая способность будет исчерпана при P = P₂ = = 135,1 кН, т.е. при нагрузке в 1,56 раза больше, чем при упругом расчете.

      Далее заметим, что за счет удаления одного среднего элемента из исходной системы, несущая способность и жесткость системы, соответственно, уменьшилась в и в = 16 раз.

11. ПЛАСТИНЫ И ОБОЛОЧКИ

1.1. Теория тонких пластин

      Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого, называемое толщиной, значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равностоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности. Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной (рис. 11.1.).

Рис. 11.1

      Предполагаем, что на поверхности пластины действует распределенная нагрузка интенсивностью q = q (x, y). Для вывода диф-ференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки выделим из ее состава бесконечно малый элемент с размерами dx, dy, h, где h - толщина пластины. Выделенный элемент с указанными внутренними усилиями изображен на рис. 11.2. Определим внутренние усилия в пластине следующим образом.

Рис. 11.2

      Для этого отметим характерную для пластин особенность обозначения изгибающих моментов отличны от тех, что приняты в балках, а именно: М_x - изгибающий момент на площадке с нормалью параллельной оси x; аналогично, М_y - изгибающий момент на площадке с нормалью параллельной оси y; М_xy - крутящий момент относительно оси x, действующий в плоскости параллельной оси y; М_yx - крутящий момент относительно оси y, действующий в плоскости параллельной оси x (см. рис. 10.2). Различие между Q_x и Q_y состоит в том, что интегрирование ведется по площадке с нормалью параллельной оси x, в первом случае, и по площадке с нормалью параллельной оси y во втором. С учетом изложенного выражения усилий записываются в следующем виде:

;

 

      Проецируя все силы, приложенные к элементу пластинки на вертикальную ось z, из условия равновесия получим:

,

откуда

    (11.1)

      Далее, составляя условия равновесия в форме суммы моментов относительно координатных осей x и y, и пренебрегая малыми величинами второго порядка, получим:

    (11.2)

      Подставляя выражения Q_x и Q_y из (11.2) в (11.1), получим:

.  (11.3)

      Очевидно, что для определения трех величин М_x , М_y и М_xy одного уравнения (11.3) недостаточно. Для решения задачи необходимо выразить моменты через прогибы пластинки. С этой целью для тонких пластинок вводится следующие допущения:

      1. Отрезок нормали к срединной поверхности при изгибе остается прямым и перпендикулярным к срединной поверхности. Это допущение носит название гипотезы прямых нормалей.

      2. Величины s_z и e_z пренебрежимо малы и в расчете не учитываются.

      Поскольку, мы предположили, что e_z = 0, то

e_z = 

,

следовательно, прогиб пластины w не зависит от координаты z, то есть w = w (x, y).

      Пользуясь сделанными предположениями, выразим перемещение точек пластины вдоль осей x и y, соответственно, u и v через их прогиб w.

      Согласно рис. 11.3. можно записать:

.    (11.4)

Рис. 11.3

      Нормаль к срединной поверхности пластинки (C - C) согласно гипотезе прямых нормалей и в деформируемом состоянии пластинки остается перпендикулярной к искривленной поверхности. Аналогичным образом получим:

. (11.5)

      Закон Гука в данном случае преобразуется к виду:

 (11.6)

      Выражения для изгибающих моментов с учетом (11.6) принимают вид:

  (11.7)

где - цилиндрическая жесткость пластины.

      Пользуясь соотношениями (11.2) и (11.7), выражения для поперечных сил можно записать следующим образом:

    (11.8)

где - оператор Лапласа.

      Согласно (11.7) величины моментов определяются через один искомый параметр - прогиб пластины w (x, y). Следовательно, подставляя выражение (11.7) в (11.3), окончательно получим

.   (11.9)

      Выражение (11.9) - известное дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины, полученное Софи Жермен и опубликованное Лагранжом в 1811 году.

11.2. Пример расчета (задача № 22)

      В рассмотрим эллиптическую пластинку, жестко заделанную по контуру и нагруженную равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 11.4). При a = 1,3 м, b = 1,0 м, h = 0,18 м, q = 300 кН/м², g = 1/6, Е = 2Ч10⁸ кН/м², требуется:

      1. Определить прогиб пластины в ее середине;

      2. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил в пластине по направлениям главных диаметров контура;

      3. В точке С с координатами (а/2, b/2) определить изгибающие моменты М_x , M_y и крутящий момент M_xy .

      Решение

      Выберем начало координат в центре пластинки и запишем уравнение контура (в нашем случае - уравнение эллипса):

.    (11.10)

      При жесткой заделке во всех контурных точках (11.10) должны выполняться следующие граничные условия: , 

Рис. 11.4

где n и s - нормаль и касательная к контуру пластины, соответственно. Нетрудно убедиться, что этим условиям удовлетворяет функция

, (11.11)

где с - прогиб в центре пластинки.

      Действительно в результате дифференцирования функции w по n получим: 

.  (11.12)

      Но поскольку, на основании (11.10) в контурных точках

,

то выражения (11.11) и (11.12) на контуре обращаются в нуль. Аналогично можно доказать, что условие также выполняется на контуре.

      Проверим, удовлетворяет ли выбранная функция w основному дифференциальному уравнению (11.9). Вычислим частные производные

.

и подставим их в (11.9). Результатом будет выражение

.

      Очевидно, что оно справедливо в случае, если q = const, а прогиб в центре будет равен

.   (11.13)

      Выражения изгибающих моментов M_x и M_y и крутящего момента М_xy в произвольной точке пластинки в соответствии с (11.7) будут иметь вид:

 (11.14)

      Моменты на концах малой полуоси (x = 0, y = ±b) согласно (11.14) будут равны:

  (11.15)

В точках, расположенных на концах большой полуоси (x = ±a, y = 0) моменты равны:

  (11.16)

И, наконец, в центре пластины (x = y = 0) моменты равны:

 (11.17)

      В данном случае имеем:

кНЧм;

м.

Для точки C(0,5a; 0,5b) выражения и равны нулю, следовательно:

.

      Для построения эпюр M_x и M_y достаточно найти их значения в трех точках по осям эллипса, так как вдоль них эти функции имеют параболический характер изменения, для этого воспользуемся формулами (11.15) ё (11.17):

      При построении эпюр следует помнить, что Величины поперечных сил вдоль координатных осей могут быть вычислены по формуле (11.8)

.

В данном случае Аналогично

      По данным вычислений построены эпюры M_x , M_y , Q_x и Q_y (рис. 11.5). Поскольку из условий равновесия пластинки следует, что

,

то в данном случае легко сделать проверку графически. Действительно,