Сопромат

где = -122,28 кН/м (с эпюры Q_x ), = -205,74 кН/м (с эпюры Q_y ), q = 300,0 кН/м (по условию), тогда:

.

      Таким образом, задача решена правильно.

11.3. Прочность толстостенной цилиндрической оболочки при действии внутреннего и внешнего давлений

      Рассмотрим однородное тело цилиндрической формы в цилиндрической системе координат r, j, z (рис. 11.6, а) при действии внутреннего p_a и внешнего давления p_b , которые являются осесимметричными нагрузками и вдоль оси z являются постоянными величинами (рис. 11.6, б).

      Радиальное перемещение произвольно взятой точки обозначим через u. Величина u в данном случае является функцией только от текущего радиуса r.

Рис. 11.6

      Обозначим e_r и e_j относительное удлинение в цилиндре в радиальном и окружном направлении и выразим их через перемещение u. Рассмотрим элементарный отрезок АВ = dr, выделенный в радиальном направлении до и после нагружения цилиндра (рис. 11.7, а). Для определения e_j достаточно рассмотрения рис. 11.7, б.

Рис. 11.7

      С учетом принятых обозначений и формы деформирования цилиндра получим:

.  (11.18)

      Для изучения напряженного состояния выделим из цилиндра элемент в форме криволинейного шестигранника (рис. 11.8). В осевых сечениях цилиндра из условий симметрии касательные напряжения отсутствуют и сохраняются только нормальные окружные напряжения s_j .

Рис. 11.8

      Поскольку в поперечных и радиальных сечениях касательные напряжения также отсутствуют, следовательно, площадки в поперечном, радиальном и тангенциальном направлениях являются главными площадками, а напряжения s_z , s_r , s_j  являются главными напряжениями.

      Проецируя силы, действующие на выделенный элемент (рис. 11.8), на радиальное направление, получим следующее условие равновесия:

,

откуда

.    (11.19)

      Остальные уравнения равновесия для элемента выполняются тождественно.

      Закон Гука в данном случае принимает вид:

 (11.20)

Деформация по направлению z отсутствует, из предположения, что цилиндр бесконечно длинный, т.е. e_z = 0

      Выражение напряжений в осевом направлении определяется самостоятельно, если учесть, что в поперечных сечениях цилиндра с площадью действует продольная сила:

N_z = - (p_в D ² - p_a d ²).

Следовательно,

.   (11.21)

      Из (11.20) с учетом (11.18) выражения для напряжений s_j  и s_r  принимают вид:

  (11.22)

      Тогда уравнение равновесия (11.19) с учетом (11.22) примет окончательный вид:

.   (11.23)

      Решение (11.23) записывается в виде:

,    (11.24)

где с₁ и с₂ - постоянные интегрирования, которые определяются из граничных условий задачи:

при   .  (11.25)

      Подставляя выражение u из (11.24) в выражение s_r  из (11.22) с учетом граничных условий (11.25) получим:

  (11.26)

      В результате совместного рассмотрения (11.22), (11.24) и (11.26) выражения для напряжения примут окончательный вид:

  (11.27)

      Рассмотрим случай нагружения цилиндра только внутренним давлением, тогда принимая p_в = 0, из (11.21) и (11.27) получим:

;

;   (11.28)

.

      Анализ выражений (11.28) показывает, что s_j > s_z > s_r Следовательно s_j = s₁; s_z = s₂; s_r = s₃ . Выражение интенсивности напряжения в данном случае принимает вид:

.

Из (11.28), учитывая, что

.    (11.28ў)

получим

.   (11.29)

      Предположим, что цилиндр изготовлен из неупрочняющегося материала для которого условие пластичности выражается в следующем виде:

s_i = s_T ,     (11.30)

где s_T - предел текучести материала цилиндра.

      Подставляя (11.29) в (11.30) получим условия пластичности для данного случая:

s_j - s_r  = 2 K,    (11.31)

где .

      Из анализа выражений напряжений (11.28) следует вывод, что наибольшее значение напряжение s_j принимает при r = d/2, т.е. на внутренней границе цилиндра. Следовательно, по мере увеличения внутреннего давления в пластическое состояние будут сначала переходить внутренние, а затем и более близкие к внешней границе слои материала.

      Для определения значения давления, при котором слои на внутренней границе цилиндра, т.е. при r = d/2, переходят в пластическое состояние, воспользуемся условием пластичности (11.31), подставляя в него выражение напряжений из (11.28):

.   (11.32)

      По мере дальнейшего роста внутреннего давления зона пластичных деформаций от внутренней поверхности распространяется в сторону наружной поверхности.

      Для случая когда все поперечное сечение оболочки находится в пластическом состоянии рассматривается условие равновесия (11.18) и условие пластичности (11.31) и тогда:

.    (11.33)

      Проинтегрировав последнее уравнение, получим:

.   (11.34)

      Постоянная интегрирования C определяется из граничных условий задачи:

r = D/2; s_r = 0.    (11.35)

Подставляя (11.34) в (11.35), определим: . Следовательно, из (11.34) окончательно получим:

.    (11.36)

Из условия пластичности (11.31) будем иметь

.   (11.37)

Выражение для s_z принимает вид:

.   (11.38)

      Величину внутреннего давления, при действии которого вся оболочка переходит в пластическое состояние, обозначим p_а = Р_ПР и получим из граничных условий задачи при r = d/2 Р_ПР = s_r Следовательно, из (11.36) получим:

Р_ПР = 2 K ln

.

11.4. Пример расчета (задача №23)

      Для толстостенной стальной трубы, имеющей внутренний диаметр d = 0,03 м и наружный диаметр D = 0,18 м, и изготовленной из пластичного материала с s_T = 250 МПа и с коэффициентом Пуассона m = 0,5, требуется:

      1. Определить давление p_T, при котором в материале трубы начнется пластическое деформирование;

      2. Определить предельное внутреннее давление p_ПР , при котором весь материал будет находиться в пластическом состоянии;

      3. Построить эпюры распределения напряжений s_r , s_j , s_z по толщине стенки для двух состояний трубы, рассмотрены в п. 1 и 2;

      4. Определить допускаемое значение давления p_a = p_ДОП при коэффициенте запаса прочности n = 1,5.

      Решение

      1. По формуле (11.32) определяем давление, при котором на внутренней поверхности трубы появятся пластические деформации:

МПа.

      2. С учетом того, что p_a = p_T , из (11.28) определяем напряжения, соответствующие началу пластического течения:

МПа;

;

.

      Данные для числовых расчетов сводим в табл. 6.

Таблица 6

      Эпюры напряжений s_r , s_j , s_z для упругого состояния материала трубы приведены на рис. 11.9, а.