Сопромат

      В реальной практике встречаются такие конструкции при расчете которых одних лишь уравнений равновесия оказывается недостаточно, в связи с чем требуется формулирование дополнительных уравнений, связанных с условиями деформирования конструкции.

      Системы, в которых количество наложенных связей больше, нежели число независимых уравнений равновесия, называются статически неопределимыми.

      По сравнению со статически определимыми системами, в статически неопределимых системах имеются дополнительные связи, которые называются лишними.

      Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являются лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действительности эти связи создают дополнительные резервы для конструкций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.

      На рис. 2.5, а изображен кронштейн, состоящий из двух стержней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертикальное усилие Р, а система является плоской (т.е. все элементы конструкции и вектор внешних сил лежат в одной плоскости), получается, что усилия в стержнях легко определяются из условий равновесия узла А, т.е.

       еx = 0,     еy = 0.   (2.16)

      Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линейных уравнений относительно неизвестных усилий N₁ и N₂ в которой количество уравнений равно количеству неизвестных:

-N₁ - N₂ sin a = 0;     -N₂ cos a - Р = 0.

 

Рис. 2.5

      Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б), то усилия в стержнях N₁, N₂ и N₃ прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются уже три неизвестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что система один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) уравнений равновесия, связывающих эти усилия, называется степенью статической неопределимости рассматриваемой системы.

      В общем случае под n-раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число независимых и значащих уравнений равновесия на n единиц. 

6. Напряженное и деформированное состояние 
   при растяжении и сжатии

 

      Рассмотрим более подробно особенности напряженного состояния, возникающего в однородном растянутом стержне. Определим напряжения, возникающие на некоторой наклонной площадке, составляющей угол a с плоскостью нормального сечения (рис. 2.6, а).

                              Рис. 2.6

      Из условия еz = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б), получим:

                              р F_a = s F,   (2.17)

где F - площадь поперечного сечения стержня, F_a = F/cos a - площадь наклонного сечения. Из (2.17) легко установить:

                              р = s сos a.   (2.18)

      Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке (рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим:

      s_a = p cos a = s cos² a;     t_a = p sin a =  s sin 2 a . (2.19)

      Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величины напряжений, возникающих в сечениях, проходящих через эту точку, зависят от ориентации этой площадки, т.е. от угла a. При a = 0 из (2.19) следует, что s_a = s, t_a = 0. При a =  , т.е. на продольных площадках, s_a = t_a = 0. Это означает, что продольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения t_a принимают наибольшие значения при a =  , и их величина составляет t_max= . Важно отметить, как это следует из (2.19), что . Следовательно, в любой точке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностью любого напряженного состояния и носит название закона парности касательных напряжений.

      Теперь перейдем к анализу деформаций в растянутом стержне. Наблюдения показывают, что его удлинение в продольном направлении сопровождается пропорциональным уменьшением поперечных размеров стержня (рис. 2.7).

Рис. 2.7

      Если обозначить:

e_прод =  ; e_попер = - , m = - ,

то, как показывают эксперименты, m = const для данного материала и является безразмерным коэффициентом Пуассона. Величина m является важной характеристикой материала и определяется экспериментально. Для реальных материалов m принимает значения 0,1 ё 0,45.

      При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.

      Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрезками АВ и АС, в недеформированном состоянии.

Рис. 2.8

      При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А ў, B ў, C ў соответственно. Величина

g_a = РВАС - РА ўB ўC ў

называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.

      Совместим точки А и А ў и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ и А ўB ў (рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомогательные точки K и L и прямую n, перпендикулярную отрезку А ўB ў. Из рис. 2.8, б имеем:

e_прод = 

;  e_попер =  ,

откуда с учетом e_прод =  получим:

                  

.  (2.20)

      Для определения w_a спроектируем ломаную ВLB ўА ў на ось n DSЧsin w_a = BL cos (a + w_a) + LB ўsin(a + w_a), откуда, учитывая малость угла w_a , т.е. sin w_a » w_a , cos w_a » 1, получим:

                  w_a = 

.   (2.21)

      В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим:

w_a = 

.

Откуда

.

Следовательно,

                  

.  (2.22)

      Сопоставляя выражение g_a с выражением t_a из (2.17) окончательно получим закон Гука для сдвига:

                              

   (2.23)

где величина называется модулем сдвига или модулем упругости материала второго рода. 

7. Основные механические характеристики 
   материалов

 

      Для количественной оценки основных свойств материалов, как

Рис. 2.9

правило, экспериментально определяют диаграмму растяжения в координатах s и e (рис. 2.9), На диаграмме отмечены характерные точки. Дадим их определение.

      Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности s_П . В пределах закона Гука тангенс угла наклона прямой s = f (e) к оси e определяется величиной Е.

      Упругие свойства материала сохраняются до напряжения s_У , называемого пределом упругости. Под пределом упругости s_У  понимается такое наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций, т.е. после полной разгрузки последняя точка диаграммы совпадает с начальной точкой 0.

      Величина s_Т называется пределом текучести материала. Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформаций без заметного увеличения нагрузки. Если необходимо различать предел текучести при растяжении и сжатии s_Т соответственно заменяется на s_ТР и s_ТС . При напряжениях больших s_Т в теле конструкции развиваются пластические деформации e_П , которые не исчезают при снятии нагрузки.

      Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит название предела прочности, или временного сопротивления, и обозначается через, s_ВР (при сжатии s_ВС ).

      В табл. 2 приводятся значения указанных характеристик (в кН/м²) наиболее распространенных конструкционных материалов.

                                                Таблица 2