Сопромат

      Зная N₁, из уравнений (2.34) и (2.35), находим N₂ и N₃:

.

      Опорную реакцию R_C определяем из уравнения (2.30), подставив найденные значения N₁, N₂ и N₃:

-P + 0,333P + R_C - 0,167P - 0,833P = 0;     R_C = 1,667P.

      После определения величин усилий в тягах N₁, N₂, N₃ и реакции R_C необходимо проверить правильность их вычисления. Для этого составим уравнение равновесия статики SМ_A = 0:

-N₁Чa - R_C (a + b) + N₂ (a + b + c) + N₃ (a + b + c + d)  = 0;

     0 = 0.

      Следовательно, N₁, N₂, N₃ и R_C определены правильно.

      Угловое смещение бруса (угол j), ввиду его малости, находим как тангенс угла наклона бруса АЕ :

[рад].

      2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее величину, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести. Для вычисления величины Р, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести s_T , определим нормальные напряжения, возникающие в тягах, учитывая то, что тяги работают на растяжение:

      Полученные величины напряжений показывают, что в тяге 3 напряжение достигнет предела текучести раньше, чем в тягах 1 и 2, так как s₃ > s₁ и s₃ > s₂. Поэтому, приравняв напряжение s₃  пределу текучести s_T , определим величину Р, при которой нормальное напряжение в тяге 3 достигнет предела текучести s_T :

кПа,

откуда

кН.

      3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, реакцию опоры С и соответствующий этому предельному состоянию угол. При исчерпании несущей способности всех тяг напряжения в них достигнут предела текучести s_T . В этом случае предельные усилия, которые возникнут в тягах, будут равны:

 = F₁Чs_T  = 2Ч10^-4Ч24Ч10⁴ = 48 кH;

 = F₂ s_T  = 1Ч10^-4Ч24Ч10⁴ = 24 кH;

 = F₃Чs_T  = 2Ч10^-4Ч24Ч10⁴ = 48 кH.

      Предельную величину внешней нагрузки, соответствующую исчерпанию несущей способности, найдем из уравнения (2.31), подставив в него предельные значения , , :

-P_ПР Ч3 + 48Ч1 + 24Ч1 + 48Ч3 = 0; P_ПР = 

кН.

      Предельную величину реакции определяем из уравнения (2.30):

-72 + 48 +

- 24 - 48 = 0;  = 96 кН.

      При определении наименьшего угла поворота бруса, соответствующего предельному состоянию системы, необходимо знать, в какой из тяг текучесть наступит позже.

      Полученные величины напряжений (см. п. 2) показывают, что в тягах 1 и 2 напряжения достигнут предела текучести одновременно, но позже, чем в тяге 3. Поэтому предельный угол поворота бруса определяем для момента перехода материала тяг 1 и 2 в пластическое состояние:

рад,

или

рад.

      4. Найти несущую способность из расчетов по методам допускаемых напряжений и разрушающих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и сделать вывод. Из предыдущих расчетов (см. п. 2) видно, что текучесть материала раньше появится в тяге 3, т.к. s₃ > s₁ и s₃ > > s₂. Поэтому для определения величины грузоподъемности из расчета по методу допускаемых напряжений приравниваем напряжение в этой тяге s₃ = 0,417Ч10⁴ Р к допускаемому напряжению:

кПа,     0,417Ч10⁴ [P] = 16Ч10⁴ кПа,

[P] = 

кH.

      Несущая способность конструкции из расчета по методу разрушающих нагрузок получим путем деления ранее полученного значения P_ПР = 72 кН на коэффициент запаса n₁ = 1,5:

кH.

      Сравнивая полученные величины, видим, что несущая способность из расчета по методу разрушающих нагрузок больше несущей способности из расчета по методу допускаемых напряжений на , что подтверждает известное положение о том, что метод допускаемых напряжений, в отличии от метода разрушающих нагрузок, не позволяет определить полную несущую способность системы. Это объясняется тем, что для статически неопределимых систем, переход одного элемента в пластическую стадию работы, как правило, не означает наступления предельного состояния. Переход системы в предельное состояние отождествляется с превращением ее из неизменяемой в геометрически изменяемую систему. Известно, что в статически неопределимой системе разрушение “лишних связей” не превращает ее в геометрически изменяемую. Так как реальные сооружения чаще всего представляют собой многократно статически неопределимые системы, материал которых обладает свойством пластичности, поэтому метод предельного равновесия имеет важное значение для раскрытия истинных резервов их несущей способности.

 
 

3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ БРУСА

 

1. Статические моменты сечения

 

      При решении практических задач возникает необходимость в использовании различных геометрических характеристик поперечных сечений бруса. Настоящий раздел посвящен методам их определения. Рассмотрим некоторое поперечное сечение в системе координат x, y (рис. 3.1) и рассмотрим два следующих интегральных выражения:

                      (3.1)

где нижний индекс у знака интеграла указывает на то, что интегрирование ведется по всей площади сечения F. Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадок dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй - относительно оси y.

      При выполнении практических расчетов важно знать, как меняются статические моменты сечения при параллельном переносе координатных осей (рис 3.2).

      Очевидно, что

                        x = x₁ + a; y = y₁ + b.   (3.2)

      Подставляя (3.2) в (3.1) получим: