Сопромат

4.4. Кручение тонкостенного бруса

      В машиностроении, авиастроении и вообще в технике широко применяются тонкостенные стержни с замкнутыми (рис. 4.7, а) и открытыми профилями (рис. 4.7, б) поперечных сечений. Поэтому расчеты на кручение таких тонкостенных стержней имеет большое практическое значение.

Рис. 4.7

      Характерной геометрической особенностью тонкостенных стержней является то, что их толщина существенно (на порядок и более) меньше других геометрических размеров (длиной срединной линии контура поперечного сечения и длины стержня).

      Характер распределения напряжений по толщине тонкостенного стержня открытого профиля близок к равномерному (рис. 4.7, б), а замкнутого профиля меняется по линейному закону, как это показано на рис. 4.7, а. Откуда следует, что напряжения в поперечных сечениях открытого профиля практически не изменятся, если профиль сечения распрямить. Иначе говоря, напряжения в криволинейном открытом профиле будут примерно такими же, как и в прямом.

      Обращаясь к формулам (4.14), (4.16) и при предельном переходе , получим:

;      ,   (4.17)

где d - толщина профиля; s - длина контура профиля; l - длина стержня.

      В случае, если тонкостенный незамкнутый профиль является составным (рис. 4.8) и не может быть развернут в вытянутый прямоугольник, воспользовавшись почленной аналогией, легко определить выражения напряжений на i-ом произвольном участке:

,   (4.18)

где M_K(i) - доля крутящего момента, соответствующего i-му участку:

,

где j - угловое перемещение, единое для всех участков:

.    (4.19)

      Изложенный подход к определению напряжений является приближенным, так как он не позволяет определить напряжения в зонах сопряжения элементов поперечного сечения профиля, которые являются зонами концентрации напряжений.

                  Рис. 4.8    Рис. 4.9

      Далее рассмотрим брус, имеющий поперечное сечение в форме замкнутого тонкостенного профиля (рис. 4.9). Выделим на контуре элементарный участок длиной ds и выразим крутящий момент через напряжения t, выполняя операцию контурного интегрирования получим:

.    (4.20)

      Из условия равновесия сил по оси z выделенного элемента длиной dz (4.9) легко установить, что по контуру сечения произведение tЧd является постоянной величиной. С учетом данного обстоятельства, выражение (4.20) примет вид:

,   (4.21)

где - представляет собой удвоенной площадь, ограниченную срединной линией контура сечения.

      Из (4.21) наибольшее напряжение определяется по формуле:

.    (4.22)

      Для вывода выражения для угла закручивания воспользуемся энергетическими соображениями. Энергия, накопленная в элементарном объеме с размерами d, dz, ds за счет деформаций чистого сдвига, равна:

.

      С учетом (4.21), последнее выражение можно представить в виде:

.

      С другой стороны, работу внешних сил можно представить в виде:

.    (4.24)

      Приравнивая оба выражения из (4.22) и (4.23), получим:

,    (4.25)

      Если  d является постоянной по контуру, будем иметь:

,    (4.26)

где s - длина замкнутого контура.

4.5. Пример расчета (задача 5)

      Пусть задан тонкостенный стержень (рис. 4.10, а) при действии самоуравновешивающих крутящих моментов на двух противоположных концах, требуется:

      1. Определить выражения максимальных напряжений и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый (рис. 4.10, б) и замкнутый (рис. 4.10, в) профиль;

      2. Сопоставить вычисленные значения напряжений и углов закручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня.

      Решение

      1. Определение выражения максимальных напряжений и углов закручивания в случаях, когда стержень имеет открытый и замкнутый профиль. Для стержня с открытым профилем (рис. 4.10, б), согласно (4.17), получим:

;      .

Рис. 4.10

      Для стержня замкнутого профиля (рис. 4.10, в), воспользовавшись выражениями (4.22) и (4.25), имеем:

;     .

      2. Сопоставить вычисленные значения напряжений и углов закручивания для двух различных профилей тонкостенного стержня. Для наглядности составим отношения выражений напряжений и углов закручивания, т.е.:

;       .

      Откуда следует, что отношение напряжений имеет величину порядка D/d, а отношение углов закручивания - порядка (D/d)². Так как для тонкостенных стержней D>>d, следовательно, стержень с замкнутым профилем является существенно более прочным и жестким, нежели стержень с открытым профилем при идентичных исходных данных.

      Заметим, что этот вывод является общим для тонкостенных стержней независимо от формы сечений.