Сопромат

м.

      Для вычисления полного перемещения сечения С с учетом характера опирания балки КD на консольную балку необходимо найти прогиб консольной балки  АВ от действия на нее силы Р_K = -R_K = 5 кН. Для этого, приняв начало координат в сечении В балки АВ, составим уравнение метода начальных параметров для определения прогиба на конце консоли. При начале координат в точке В консоли известными параметрами будут: М₀ = М_B = 0; Q₀ = Q_B = -Р_K = -5 кН, а неизвестными y₀ = y_B № 0; j₀ = j_B № 0. Неизвестные начальные параметры y₀ и j₀ определим из уравнений прогиба и угла поворота для сечения А. Из условия закрепления балки АВ имеем при z = l = 2 м y_A = j_А = 0.

      Составим уравнения метода начальных параметров:

    (а)

.  (б)

      Приравняв к нулю уравнение (а) при z = l м, определяем j₀:

.

      Подставив найденное значение j₀ в уравнение (б) и принимая y = 0 при z = l , получим выражение второго неизвестного начального параметра y₀ , определяющего прогиб сечения В консольной балки АВ:

;

;

м.

      Знак “минус” говорит о том, что конец консольной балки переместится вниз.

      Определив прогиб и изобразив эпюру перемещений системы (рис. 8.4, з), вычислим величину полного перемещения сечения С по формуле:

м.

      2. Определение динамического коэффициента и коэффициента эквивалентности. Максимальное значение системы внешних сил принимает значение G + bЧP₀. Далее определяем коэффициент эквивалентности:

,

где  - амплитудное значение инерционной силы; b =  - коэффициент динамичности. Здесь -частота собственных колебаний;  - частота возмущающей силы.

      В рассматриваемом примере:

кН;

.

      3. Определение прогиба и напряжений. Максимальное значение напряжения и прогиб, возникающие от совместного действия статических и динамических нагрузок, определяем по формулам:

кН/м²,

м.

      При коэффициенте К_Д = 1,145 найдем также напряжение в сечении А балки АВ:

кН/м².

      Следовательно, полученное значение напряжения больше, чем напряжение в сечении С, где установлен электромотор. Итак, сечение в заделке в данном примере является наиболее опасным , и, следовательно, это обстоятельство необходимо учитывать при проверке прочности составных конструкций.

      С увеличением числа оборотов двигателя возрастают динамические напряжения и прогибы балок. Поэтому при проектировании конструкций не следует допускать наступления резонанса (w = j), при котором может наступить разрушение конструкции.

8.4. Соударение твердого тела и системы 
с одной степенью свободы

      Задача соударения различных механических систем часто встречается в инженерной деятельности в различных сферах, поэтому имеет большое практическое значение.

      Взаимодействие тел, при котором за очень малый промежуток времени скачкообразно изменяются скорости взаимодействующих тел, называется ударом. В период взаимодействия соударяемых тел между ними развивается результирующая контактная сила. Хотя время действия контактной силы обычно очень мало и измеряется микро- или миллисекундами, она развивается очень быстро и принимает большие значения.

      Задача соударения твердых деформируемых тел в механике, как правило, относится к классу динамических контактных задач со смешанными граничными условиями, содержащими в себе многие трудности математического порядка при их решении, которые не всегда могут быть преодолены простыми инженерными способами. Эти трудности в первую очередь связаны с определением с определением характера изменения функции напряжения в зоне контакта соударяемых тел по пространственным координатам и во времени. Большие сложности возникают и при учете волновых процессов, возникающих, как в зоне контакта, так и внутри соударяемых тел. Например, дифракционных волновых процессов по контуру в зоне контакта, и интерференционных явлений внутри соударяемых тел. Здесь существенное значение приобретает и учет фактора рассеяния энергии, трудно поддающийся анализу в данном случае.

      Исходя из вышеизложенного, ниже при решении задач, применяется упрощенный инженерный подход, основанный на следующих упрощающих предпосылках.

      При взаимодействии соударяемых тел они принимаются или идеально упругими, или абсолютно твердыми. Деформации в упругих соударяемых телах происходят мгновенно.

      С применением энергетического подхода рассмотрим соударение падающего груза массой М с высоты h на систему с одной степенью свободы (рис. 8.5). Считаем, что масса балки m сосредоточена в месте соударения.

Рис. 8.5

      Энергетический подход является наиболее предпочтительным в тех случаях, когда требуется определить только максимальные значения напряжений, динамических прогибов и не ставится задача определения законов движения заданной системы.

      Составим энергетический баланс заданной системы в момент возникновения максимальных прогибов балки:

К₀ + П = U + К,    (8.8)

где - кинетическая энергия падающего груза в момент соударения с балкой; П = (М + m)ЧgЧy_max -работа внешних сил на перемещение y_max; - потенциальная энергия деформации балки; К - кинетическая энергия системы при y = y_max.

      Так как в состоянии наибольшего отклонения балки, y = y_max, , то для указанного момента времени К = 0. С учетом вышеизложенного (8.8) принимает вид:

,  (8.9)

или

. (8.10)

      Величина d₁₁ - прогиб, который получила бы балка под действием единичной статической силы, приложенной в месте удара. Следовательно, y^CТ = M g d₁₁ представляет собой прогиб который получила бы балка под действием статически прикладываемой силы, равной весу падающего груза G = M g . Тогда уравнение (8.10) можно представить в виде:

.

      Из решения последнего уравнения получаем:

.  (8.11)

      Отсюда, учитывая, что коэффициент динамичности определяет во сколько раз максимальный прогиб при динамическом нагружении больше прогиба, возникающего при статическом характере приложения нагрузки, получим:

.  (8.12)

      Величина коэффициента динамичности b, как показывает выражение (8.12), зависит главным образом от жесткости рассматриваемой системы в направлении удара и от кинетической энергии падающего груза в момент соударения.

      Для упругих систем динамические напряжения и остальные внутренние силовые факторы определяются по той же схеме, как и прогибы. Например, для напряжений, имеем:

s^ДИН = b Ч s^CТ .    (8.13)

      В тех случаях, когда масса балки m мала, по сравнению с массой груза M, из (8.12), принимая m = 0, получим:

.    (8.14)

      В частности, если груз прикладывается на упругую систему мгновенно, тогда задавая h = 0 из (8.14), коэффициент динамичности принимает значение b = 2.

8.5. Пример расчета (задача № 17)

      Груз G = 1,2 кН падает с высоты h = 0,12 м в точку С двутавровой балки КD, опирающейся на упругое сооружение, состоящее из двух балок АК и DМ (рис. 8.6, а). Сечение балки КD-двутавр №18 (I_x = 1290Ч10^-8 м⁴ ; W_x = 143Ч10^-6 м³). Сечение балок АК и DМ - двутавр №30 (I_x = 7080Ч10^-8 м⁴; W_x = 472Ч10^-6 м³). Длина балок l = 1,2 м. Модуль упругости Е = 2Ч10⁸ кН/м².

      Определить динамические напряжения в опасных сечениях балок. Сравнить полученные напряжения с теми, которые появятся в балках, если балка КD будет опираться на абсолютно жесткое основание.

      Решение

      Из уравнений равновесия балки Sm_K = 0 и Sm_D = 0 находим опорные реакции R_K , R_D :