Сопромат

      Координаты центра тяжести вычисляем по формулам:

      3. Определить осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно осей, проходящих через его центр тяжести. Для определения указанных моментов инерции составного сечения воспользуемся формулами, выражающими зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей:

         (3.16)

         (3.17)

       (3.18)

      В этих формулах расстояние между осями, проходящими через центр тяжести составного сечения, и осями, проходящими через центры тяжести каждой составной части фигуры, а и b (рис. 3.6), в рассматриваемом случае будут равны:

      

      

      Подставив числовые значения величин в формулы (3.16) и (3.17), получим:

= [1670 + 25,2(-1,7)² + 73,4 + 12,3(-9,43)² + 1,5 + 18Ч(8,8)²]Ч10^-8 =   = 4305,4Ч10^-8 м⁴.

= [139 + 25,2(1,42)² + 73,4 + 12,3(-3,13)² + 486 +18(0,14)²)Ч10^-8 =   = 870,1Ч10^-8 м⁴.

      При вычислении центробежного момента инерции составного сечения следует иметь в виду, что и равны 0, так как швеллер и полоса имеют оси симметрии, а

,

где a  - угол между осью x и главной осью x₀ уголка. Этот угол может быть положительным или отрицательным. В нашем примере a = +45°, поэтому:

      Далее, подставив числовые значения в формулу (3.18), получим величину центробежного момента инерции составного сечения:

= [0 + 25,2 Ч (-1,7) Ч 1,42 + 42,85 + 12,3 Ч (-9,43) (-3,13)  + 0 +    

      + 18 Ч 8,8 Ч 0,14] Ч10^-8 = 367,2Ч10^-8 м⁴.

      4. Найти положение главных центральных осей инерции. Угол наклона главных осей инерции, проходящих через центр тяжести составного сечения, к центральным осям инерции x_C и y_C определим по формуле:

.

Так как угол a получился отрицательным, то для отыскания положения главной оси максимального момента инерции u следует ось x₀, осевой момент инерции относительно которой имеет наибольшее значение, повернуть на угол a по ходу часовой стрелки. Вторая ось минимального момента инерции v будет перпендикулярна оси u.

      5. Определить величины главных центральных моментов инерции сечения и проверить правильность их вычисления. Величины главных центральных моментов инерции составного сечения вычисляем по формуле:

      Для контроля правильности вычисления величины моментов инерции составного сечения производим проверки.

1-ая проверка: I_max + I_min = = const;

I_max + I_min = (4344,55 + 830,95)Ч10^-8 = (5175,5)Ч10^-8 м⁴;

= (4305,4 + 870,1)Ч10^-8 = (5175,5)Ч10^-8 м⁴.

2-ая проверка: I_max > > > 0;

4344,55 Ч10^-8 > 4305,4Ч10^-8 > 870,1Ч10^-8 > 830,95Ч10^-8 м⁴.

      Проверки удовлетворяются, что говорит о правильности вычисления моментов инерции составного сечения.

      6. Вычислить величины главных радиусов инерции. Величины главных радиусов инерции вычисляем по известным формулам:

4. КРУЧЕНИЕ

4.1. Кручение бруса с круглым поперечным 
сечением

      Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. N_z , Q_x , Q_y , M_x , M_y   равны нулю.

      Для крутящего момента, независимо от формы поперечного сечения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент M_z  направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

      При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

      Наиболее просто можно получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 4.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.

Рис. 4.1

      Для построения эпюры крутящих моментов M_z  применим традиционный метод сечений - на расстоянии z от начала координат рассечем брус на две части и правую отбросим (рис. 4.1, б). Для оставшейся части бруса, изображенной на рис. 4.1, б, составляя уравнение равенства нулю суммы крутящих моментов SM_z  = 0, получим:

M_z = M.    (4.1)

      Поскольку сечение было выбрано произвольно, то можно сделать вывод, что уравнение (4.1) верно для любого сечения вала -крутящий момент M_z  в данном случае постоянен по всей длине бруса.

      Далее двумя поперечными сечениями, как это показано на рис. 4.1, а, из состава бруса выделим элемент длиной dz, а из него свою очередь двумя цилиндрическими поверхностями с радиусами r и r + dr выделим элементарное кольцо, показанное на рис. 4.1, в. В результате кручения правое торцевое сечение кольца повернется на угол dj. При этом образующая цилиндра АВ повернется на угол g и займет положение АВ ў. Дуга BВ ў равна с одной стороны, r dj, а с другой стороны - g dz. Следовательно,

.    (4.2)

      Если разрезать образовавшуюся фигуру по образующей и развернуть (рис. 4.1, г), то можно видеть, что угол g представляет собой не что иное, как угол сдвига данной цилиндрической поверхности под действием касательных напряжений t, вызванных действием крутящего момента. Обозначая

,    (4.3)

где Q - относительный угол закручивания. Этот угол представляет собой угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними. Величина Q аналогична относительному удлинению при простом растяжении или сжатии стержня.

      Из совместного рассмотрения (4.2) и (4.3) и после некоторых преобразований, получим:

g = r Q.    (4.4)

      Подставляя выражение (4.4) в выражение закона Гука для сдвига (2.23), в данном случае выражение касательных напряжений принимает следующий вид:

t = G Q r,    (4.5)

где t - касательные напряжения в поперечном сечении бруса. Парные им напряжения возникают в продольных плоскостях - в осевых сечениях.  Величину крутящего момента M_z можно определить через t с помощью следующих рассуждений. Момент относительно оси z от действия касательных напряжений t на элементарной площадке dF равен (рис. 4.2):

dM = t r dF. 

Рис. 4.2

      Проинтегрировав это выражение по площади поперечного сечения вала, получим:

.  (4.6)

      Из совместного рассмотрения (4.5) и (4.6) получим:

       . (4.7)

      Откуда

             .  (4.8)

      Величина G I_r называется жесткостью бруса при кручении.

      Из (4.8), с учетом (4.3), интегрируя полученное выражение по параметру z, получим:

       .   (4.9)

      Если крутящий момент M_z и жесткость G I_r по длине бруса постоянны, то из (4.9) получим:

,   (4.10)

где j (0) - угол закручивания сечения в начале системы отсчета.

      Для определения выражения напряжений, возвращаясь к формуле (4.5) и исключая из него q, согласно (4.8), получим: