Сопромат

      Откладывая перпендикулярно от оси абсцисс в удобном для пользования масштабе значения Q_y и M_x , возникающие в характерных и промежуточных сечениях каждого участка, и соединяя концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Q_y и M_x на этих участках, строим эпюры Q_y и M_x для всей балки (рис. 5.13, в, г).

      2.1. Руководствуясь эпюрой M_x показать приблизительный вид изогнутой оси балки. Анализируя эпюру M_x (рис. 5.13, г) видим, что на участке КО растянуты верхние волокна, и поэтому на этом участке изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вверх. На участке ОD растянуты нижние волокна, и изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. Вследствие этого под т. О, где M_x = 0, будет точка перегиба. Учитывая все сказанное и то, что прогибы в опорных сечениях равны нулю, строим приблизительный вид изогнутой балки (рис. 5.13, д).

      2.2. Подбор поперечного сечения балки. Опасным является сечение Е, где возникает наибольший по абсолютной величине M_max = 72,5 кНЧм. Двутавровое сечение балки подбираем из условия прочности при изгибе при расчетном сопротивлении материала R_H = 200Ч10³ кН/м² (сталь):

.

Откуда требуемый момент сопротивления W_x равен:

м³ .

      По сортаменту (ГОСТ 8239-72) принимаем двутавр № 27 с W_x = 37,1Ч10^-5 м³. В этом случае при проверке прочности получается недонапряжение, но оно будет меньше 5%, что допускается СНиП при практических расчетах.

5.4.3. Схема III. Плоская рама (задача № 8)

      Заданная плоская стержневая система (рис. 5.17, а), элементы которой представляют собой прямолинейные стержни, жестко соединенных между собой, называется рамой. При произвольном характере нагружения, в поперечных сечениях элементов заданной системы возникают следующие три силовых фактора: поперечная сила Q, изгибающий момент M и продольная сила N. Главной отличительной особенностью рамной системы от других стержневых систем является то, что в деформированной состоянии угол сопряжения между различными элементами равен углам сопряжения элементов до нагружения системы.

      Правило знаков для Q_y , M_x и N_z и порядок построения их эпюр для таких систем остаются прежними.

      Так как заданная система имеет только три внешние связи (вертикальную и горизонтальную в т. D и горизонтальную в т. А), следовательно, при общем характере нагружения возникает всего три опорные реакции. Как нам уже известно, для плоских систем можно воспользоваться только тремя уравнениями равновесия статики для определения опорных реакций, поэтому заданная система является статически определимой.  

Рис. 5.17

Построить эпюры Q_y, M_x и N_z.

      Определение опорных реакций. Составив уравнения равновесия для всей рамы и решив их, получим:

Sy = 0,     R_D = 0;

SM_D = 0,    -H_A Ч8 + РЧ4 + qЧ4Ч2 = 0,     кН;

SM_A = 0,      H_D Ч8 - РЧ4 - qЧ4Ч6 = 0,     кН.

Проверка: Sx = 0; H_A + H_D - Р - qЧ4 = 0;

                        4 + 8 - 4 - 2Ч4 = 0;    12 - 12 = 0;    0 = 0.

      Уравнение равновесия превращается в тождество, что говорит о правильности вычисления опорных реакций.

Определение количества участков

      Так как, в рамах границами участков являются точки приложения сил и точки изменения направления оси элементов системы, то заданная система имеет три участка: участок I - АВ, участок II -ВС, участок III - СD (рис. 5.13, б).

Составление аналитических выражений Q_y, M_x и N_z и определение их значений в характерных сечениях каждого участка

      Определение внутренних силовых факторов в сечениях рам производится также с помощью метода сечений. Однако при выполнении разрезов всегда следует выяснить, какую из частей рамы считать левой, а какую правой. Для этого предполагают, что обход рамы ведется слева направо, т.е. от А к В, от В к С, от С к D. При этом наблюдение ведут с нижней стороны участков, находясь лицом к оси участков.

      Участок I (0 Ј z₁ Ј 4 м) (рис. 5.18).

Рис. 5.18

      Проведя сечение в пределах этого участка, рассмотрим равновесие левой отсеченной части длиной z₁ . Составив уравнение равновесия Sy = 0 и и Sz = 0 для этой части и решив их относительно , и , получим аналитические выражения изменения Q_y , M_x и N_z  на участке I:

Sy = 0,     -H_A - =0,      = - H_A - const;

,  - H_AЧz₁ -  = 0,   = - H_AЧz₁ -уравнение прямой;

Sz = 0,   = 0 - нормальная сила отсутствует.

      Величины Q_y , M_x и N_z  в граничных сечениях участка будут равны:

при z₁ = 0  = -4 кН,  = 0,  = 0;

при z₁ = 4 м  = -4 кН,  = -4Ч4 = -16кНЧм,     = 0.

      Участок II (0 Ј z₂ Ј 4 м) (рис. 5.19).

Рис. 5.19

      Сделав сечение в пределах этого участка, составим уравнения равновесия для левой части:

      Sy = 0,  = 0;

,    - - H_AЧ4 = 0,  
= - H_AЧ4 = -4Ч4 = -16 кНЧм;

Sz = 0,  H_A +  = 0,   = - H_A = -4 кH.

      Знак “минус” перед говорит о том, что элемент ВС сжат, а не растянут. Из полученных уравнений видно, что на участке II поперечная сила равна нулю, а изгибающий момент и нормальная сила постоянны.

      Участок III (0 Ј z₃ Ј 4 м) (рис. 5.20). Приняв начало координат в сечении D и сделав разрез в пределах этого участка, рассмотрим равновесие правой отсеченной части длиной z₃ . Составив уравнения равновесия Sy = 0; = 0 и Sz = 0 и решив их, получим:

Рис. 5.20

Sy = 0,     - H_D + qЧz₃ = 0, 
= H_D - qЧz₃  - уравнение прямой.

,   + H_D Чz₃ -  ,

= -H_D Чz₃ +  - уравнение квадратной параболы;

Sz = 0,  N_z = 0.

      Ординаты эпюр найдем из полученных выражений, подставив в них значения z₃ , соответствующие граничным сечениям участка:

при z₃ = 0  = 8 кН,  = 0,  = 0;

при z₃ = 4 м      = 8 - 2Ч4 =0,      = -8Ч4 + = -16 кНЧм,      = 0.

      Для уточнения очертания квадратной параболы определим величину при z₃ = 2 м:

кНЧм.

Построение эпюр Q_y , M_x и N_z для бруса с ломанной осью (рамы)

      Отложив в масштабе перпендикулярно к оси каждого элемента рамы полученные значения Q_y , M_x , N_z в граничных и промежуточных сечениях участка и соединяя концы ординат линиями, соответствующими выражениям Q_y , M_x и N_z , строим их эпюры (рис. 5.17, в, г, д).