Сопромат

      Далее определяются статические моменты площадей эпюры нормальных напряжений, действующих по кромкам пластины, относительно координатных осей x и y, с целью вычисления координат точек приложения равнодействующих сил от нормальных напряжений:

      Расстояния от точек действия результирующих нормальных сил до соответствующих координатных осей принимают следующие значения (рис. 10.8):

Рис. 10.8

      В заключении, проверим условия нахождения пластины в равновесном состоянии:

      Уравнения равновесия удовлетворяются, следовательно, пластина находится в равновесном состоянии.

10.10. Основы теории пластичности

      При испытании образцов обнаруживаются следующие основные особенности характера деформирования материалов при их нагружении. Упругость - после разгрузки образец полностью восстанавливает свои первоначальные размеры. При этом, если в процессе нагружения связь между напряжениями и деформациями является линейной, то материал называется линейно-упругим или идеально упругим. В противном случае, то есть, если между напряжениями и деформациями связь обнаруживается нелинейной, то материал называется нелинейно упругим.

      Теория, в которой в качестве физических соотношений применяются линейные соотношения между напряжениями и деформациями, т.е. закон Гука, называется теорией идеальной упругости. Теория, в которой закон Гука заменяется некоторыми нелинейными соотношениями (ввиду их многообразия), называется нелинейной теорией упругости. 

      Физические соотношения теории упругости позволяют описать напряженно-деформированное состояние нагруженного тела до определенных пределов их нагружения, называемой пределом упругости. При напряжениях, превышающих предел упругости, после разрузки наблюдаются заметные остаточные деформации. Свойство материалов относительно неспособности восстанавливать первоначальные размеры образцов после их разгрузки за счет возникновения остаточных деформаций, называется пластичностью.

      Физические соотношения, взятые в основу теории, позволяющие определить переход напряженно-деформированного состояния от упругой стадии к упруго-пластической и описать процесс деформирования тела с учетом пластических свойств материалов, называются теорией пластичности.

      Учет пластических свойств материалов является чрезвычайно важным этапом в плане совершенствования методов расчета конструкций. Если конструкции из хрупких материалов вплоть до стадии разрушения при действии внешних сил не развивают заметных пластических деформаций, то для конструкций из пластических материалов основные деформации формируются именно за счет возникновения пластических деформаций. Так например, полные деформации, соответствующие концу площадки текучести на реальной диаграмме, для многих материалов в 30 - 40 раз превышают деформации, соответствующие концу линейного участка.

      В настоящее время существуют две теории пластичности. Их различие заключается в конкретной записи физических соотношений. Что же касается двух других основных соотношений механики сплошной среды - уравнений равновесия (10.1), (10.2), и соотношений, устанавливающих взаимосвязь между перемещениями и деформациями (10.16), то они идентичны в обеих теориях пластичности и имеют тот же вид, что и в теории упругости.

      В деформационной теории пластичности, разработанной А.А. Ильюшиным, взамен закона Гука устанавливаются новые соотношения между напряжениями и деформациями.

      Во второй теории - теории течения, физические соотношения связывают напряжения с приращениями деформаций или скоростями деформаций.

      Как показывают экспериментальные исследования, деформационная теория пластичности справедлива при относительно небольших пластических деформациях для простого нагружения, т.е. когда все внешние нагрузки изменяются пропорционально во времени.

      Теория течения является эффективным при изучении процессов, связанных с возникновением больших деформаций и при сложном нагружении, т.е. когда нагрузки, прикладываемые к телу, изменяются во времени независимо друг от друга.

      Здесь ограничимся рассмотрением только деформационной теории пластичности.

      Процесс деформирования материалов можно условно разделить на две стадии. Начальная стадия - упругое деформирование. Компоненты тензоров напряжений и деформаций при этом связаны законом Гука. (10.18)-(10.19). Для реальных инженерных задач, связанных с определением напряженно-деформированного состояния тела, как в упругой, так и в упруго-пластической стадии деформирования, предварительно необходимо установить: во-первых, условие перехода от упругой стадии деформирования к пластической стадии и, во-вторых, установить физические зависимости во второй стадии деформирования.

      Условия перехода от упругого состояния к пластическому могут быть определены по формулам одной из гипотез предельного состояния.

      Как это было изложено в п. 10.6, наиболее приемлемыми являются гипотезы максимальных касательных напряжений и энергии формоизменения. При этом, для построения соотношений пластичности гипотеза энергии формоизменения является наиболее приемлемой, согласно которой переход из упругого состояния в пластическое происходит тогда, когда величина

 (10.30)

называемая интенсивностью напряжений, достигает определенной величины, равной пределу текучести материала s_T при одноосном напряженном состоянии, т.е.

s_i = s_T.    (10.31)

      С учетом физических соотношений (10.18) и (10.19) выражение (10.30) принмает вид:

s_i = E e_i ,    (10.32)

где принято обозначение:

 (10.33)

называемое интенсивностью деформаций.

      Следовательно, соотношение (10.32), следует рассматривать как одну из форм выражения обобщенного закона Гука.

      Выражения интенсивности напряжений и интенсивности деформаций, записанные через главные напряжения и деформации можно представить в виде:

  (10.34)

      В основу деформационной теории пластичности заложены следующие гипотезы.

Рис. 10.9

      Первая гипотеза устанавливает связь между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций (рис. 10.9), и гласит, что она не зависит от вида напряженного состояния, т.е.

,  (10.35)

где E(e_i) - является переменной величиной и зависит от значения e_i. Соотношения (10.35) являются едиными для всех видов напряженного состояния.

      Согласно второй гипотезе - изменение объема является чисто упругой. Это положение хорошо согласуется с экспериментальными данными, так как при всестороннем сжатии в материалах заметных пластических деформаций не обнаруживается.

      При деформировании материалов пластические деформации, как правило, существенно больше упругих и, учитывая, что объемная деформация e является величиной порядка упругих удлинений, поэтому принимается, что при пластическом деформи-ровании изменение объема пренебрежительно мало. На основании этого положения вводится гипотеза, что в пластической стадии деформирования материал считается несжимаемым. Откуда следует, что в пластической стадии деформирования можно коэффициент Пуассона принимать равным m = 0,5.

      Сначала определим физические соотношения при одноосном растяжении, когда

 

      Из (10.30) и (10.33), соответственно получим e_i = e и s_i = s, что подтверждает первое положение теории, что аналитическое выражение (10.35) едино для всех видов напряженного состояния. Данное обстоятельство позволяет определить переменный модуль деформирования по диаграмме s ~ e, т.е. .

      В заключение, аналогично соотношениям (10.18)-(10.19) запишем физические соотношения между напряжениями и деформациями при пластической стадии деформирования тела:

здесь является модулем деформации при сдвиге, который определяется следующим образом:

.   (10.37)

      Приведенные физические соотношения деформационной теории пластичности являются справедливыми при простых нагружениях, т.е. только в тех случаях, когда все внешние силы на всех этапах нагружения во времени изменяются пропорционально. В данном случае заметим, что главные оси напряженного состояния при изменении внешних сил сохраняют свое направление независимо от стадии деформирования.

10.11. Пример расчета (задача № 21)

      Для трехстержневой системы (рис. 10.10, а) при условии, что диаграмма растяжения для стержней имеет участок упрочнения (рис. 10.10, б), при следующих исходных данных: a = 30°; l = 1,0 м; F = 2Ч10^-4 м² - площади поперечных сечений стержней; E =  2Ч10⁸ кН/м² - модуль упругости материалов стержней; s_T = = 2,5Ч10⁵ кН/м² - предел упругости материала; s_B = 3,9Ч10⁵ кН/м² - временное сопротивление; e_B = 0,02 - значение деформации, соответствующее напряжению s_B , требуется:

      1. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P₁, при котором в наиболее напряженном стержне напряжения достигают предела упругости;

      2. Определить абсолютные и относительные удлинения стержней и значение силы P = P₂, при котором все элементы заданной системы переходят в пластическую стадию деформирования;