Автор работы: Пользователь скрыл имя, 05 Октября 2009 в 18:09, Не определен
Современные базовые учебники по сопротивлению материалов, теории упругости, пластичности 13, 5, 7 изложены во внушительных объемах и в основном ориентированы на подробном изложении теории. Это обстоятельство усложняет процесс самостоятельного изучения предмета и послужило побудительной причиной подготовки настоящего издания.
В книге в доступной, но достаточно строгой форме изложены основные разделы классического курса сопротивления материалов, теории упругости и пластичности, которые сопровождаются подробными примерами расчетов, что несомненно должно облегчить процесс самостоятельного освоения предмета.
I3 = s1 s2 s3 = 54,57Ч(-23,8)Ч
Результаты вычислений I1, I2 и I3 в рамках допустимых отклонений совпадают с результатами, полученными в п. 1 решения.
4. Определяем направляющие косинусы главных площадок. Система уравнений для определения l1, m1, n1 имеет следующий вид:
(50 - 54,57) l1 - 10 m1 + 10 n1 = 0;
-10 l1 - (20 + 54,57) m1 + 10 n1 =0;
.
Решение
этой системы: l1 = -0,9334; m1 = 0,0785; n1 = -0,3486. Условия проверки выполняются:
(-0,9334)2 +(-0,3486)2 + 0,
Система уравнений для определения l2, m2, n2 имеет следующий вид:
(50 + 23,81) l2 -10 m2 + 10 n2 = 0;
-10 l2 + (-20 + 23,81) m2 + 10 n2 =0;
.
Решение
этой системы: l2 = -0,159; m2 = 0,965; n2 = -0,2086. Условия проверки выполняются:
0,1592 + 0,9652 + (-0,2086)2 @
Система уравнений для определения l3, m3, n3 имеет следующий вид:
(50 - 29,22) l3 - 10 m3 + 10 n3 = 0;
-10 l3 + (-20 - 29,22) m3 + 10 n3 =0;
.
Решение
этой системы: l3 = 0,5515; m3 = 0,4328; n3 = -0,7132. Условия проверки выполняются:
0,55152 + 0,43282 + (-0,7132)2
10.9. Пример расчета (задача № 20)
Рис. 10.6
Дана прямоугольная невесомая пластина (рис. 10.6), по кромкам которой действуют внешние силы, равномерно распределенные по ее толщине, равной единице. Под действием этих сил в пластине возникает обобщенное напряженное состояние, описываемое функцией напряжений в виде полинома четвертой степени
j = 2 b x3 - 3 x2 y2 + y4.
Требуется:
1. Проверить возможность существования такой функции напряжений;
2. По функции напряжений найти выражения компонентов напряжений;
3. Выяснить характер распределенных по кромкам пластины внешних сил, под действием которых имеет место данная система напряжений, и построить эпюры напряжений;
4. По полученным эпюрам напряжений, принимая их за эпюры распределенной внешней нагрузки, произвести проверку равновесия пластины.
Решение
1. Проверить возможность существования такой функции напряжений. Для выполнения проверки существования заданной функции напряжений выполним ее дифференцирование:
;
;
.
Подставив четвертые производные в бигармоническое уравнение (10.32), видим, что оно удовлетворяется: 0 + 2 (-12) + 24 = 0. Следовательно, напряженное состояние пластины, выраженное зааной функцией напряжений, возможно.
2. По функции напряжений найти выражения компонентов напряжений. Компоненты напряжений, действующих по кромкам пластины, равны:
3. Выяснить характер распределенных по кромкам пластины внешних сил, под действием которых имеет место данная система напряжений, и построить эпюры напряжений. Используя функциональные компоненты напряжений в пластине, построим соответствующие эпюры напряжений по контуру пластины на каждой ее боковой стороне.
Сторона 0-1-2 (x = 0, 0 Ј y Ј b). На этой грани действуют напряжения sxx = 12 y2 ; txy = 0:
y = 0 (точка 0) sxx = 0, txy = 0,
y = b/2 (точка 1) sxx = 3 b2, txy = 0,
y = b (точка 2) sxx = 12 b2, txy = 0.
Сторона 2-3 (0 Ј x Ј 2 b, y = b). На этой грани действуют напряжения syy = 12 b x - 6 b2 ; txy = 12 b x:
x = 0 (точка 2) syy = -6 b2, txy = 0,
x = 2 b (точка 3) syy = 18 b2, txy = 24 b2.
Сторона 3-4-5 (x = 2 b, 0 Ј y Ј b). На этой грани действуют напряжения sxx = -24 b2 + 12 y2; txy = 24 b y:
y = 0 (точка 5) sxx = -24 b2, txy = 0,
y = b/2 (точка 4) sxx = -21 b2, txy = 12 b2,
y = b (точка 3) sxx = -12 b2, txy = 24 b2.
Сторона 0-5 (0 Ј x Ј 2 b, y = 0). На этой грани действуют напряжения syy = 12 b x ; txy = 0:
x = 0 (точка 0) syy = 0, txy = 0,
x = 2 b (точка 5) syy = 24 b2, txy = 0.
По полученным результатам строим эпюры sxx , syy и txy , которые приведены на рис. 10.7.
Рис. 10.7
4. По полученным эпюрам напряжений, принимая их за эпюры распределенной внешней нагрузки, произвести проверку равновесия пластины. Выполним проверку равновесия пластины. Для этой цели найдем равнодействующие внешних сил, действующих по кромкам пластины (рис. 10.8):
Подсчет значений равнодействующих сил (рис. 10.8):