Сопромат

      Тогда, окончательно:

      Прогиб точки D происходит вниз, а сечение поворачивается по часовой стрелке.

      Схема II.

Рис. 5.26

      1. Определение опорных реакций балки (рис. 5.26).

SM₀ =0,    R_B (b + c + e) - qЧ(c + e)Ч[b + 0,5Ч(c + e)] + M + P b = 0,

      =

кН;

SM_B =0,    R₀ (b + c + e) - 0,5ЧqЧ(c + e)² - M + PЧ(c + e) = 0,

кН.

      Для проверки правильности определения опорных реакций составим уравнение равновесия сил по оси y:

Sy =0; R₀ + R_B + P - q (c + e) = 7,86 + 14,14 + 8 - 10Ч3 = 30 - 30 = 0.

      Реакции найдены верно.

      2. Применение метода начальных параметров. Используя метод начальных параметров, для рассматриваемой балки запишем:

      Из условий закрепления балки при z = 0 имеем: y₀ = 0; М₀=0.

      Подставляя числовые значения, получим:

.

      В данном выражении неизвестно j₀. Из условия закрепления балки при z = b + c + e имеем, что y = 0. Вычисляя прогиб на правом конце балки и приравнивая его к нулю, получим уравнение для определения j₀:

.

      Отсюда E I j₀ = -20,84 кНЧм². Теперь выражение для определения прогибов будет иметь вид:

.

      Соответственно, выражение для определения углов поворота будет:

.

      С помощью этих выражений определяем y_D и j_D:

кHЧм³.

кНЧм².

      Вычисляем жесткость сечения (Е = 2Ч10⁸ кН/м²):

кНЧм².

      Тогда, окончательно,

рад.

      Перемещение точки D происходит вниз, а сечение поворачивается по часовой стрелке.

5.9. Косой изгиб

      Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в поперечном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента относительно этих осей (рис. 5.27, б):

M_x = MЧsina;     M_y = MЧcosa .   (5.25)

      Введем следующее правило знаков для моментов M_x и M_y - 
момент считается положительным, если в первой четверти координатной плоскости (там, где координаты x и y обе положительны) он вызывает сжимающие напряжения.

Рис. 5.27

      На основании принципа независимости действия сил нормальное напряжение в произвольной точке, принадлежащей к поперечному сечению бруса и имеющей координаты x, y, определяется суммой напряжений, обусловленных моментами M_x и M_y , т.е.

.    (5.26)

      Подставляя выражения M_x и M_y  из (5.25) в (5.26), получим:

.

      Из курса аналитической геометрии известно, что последнее выражение представляет собой уравнение плоскости. Следовательно, если в каждой точке сечения отложить по нормали вектор напряжения s, то концы векторов образуют геометрическое место точек, принадлежащих одной плоскости, как и при поперечном изгибе.

      Уравнение нейтральной линии, т.е. геометрического места точек, где нормальное напряжение принимает нулевые значения, найдем, полагая в (5.26) s = 0:

.

      Откуда определяется:

.  (5.27)

      Поскольку свободный член в (5.27) равен нулю нейтральная линия всегда проходит через начало координат. Как видно из выражения (5.26), эпюра напряжений в поперечных сечениях бруса линейна, следовательно, максимальные напряжения в сечении возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии. В том случае, когда сечение имеет простую форму (прямоугольник, круг), положение наиболее опасных точек легко определяется визуально. Для сечений, имеющих сложную форму, необходимо применить графический подход.

      Далее покажем, что при косом изгибе нейтральная линия не перпендикулярна к плоскости действия изгибающего момента, как это всегда выполнялось при поперечном изгибе. Действительно угловой коэффициент K₁ следа момента (рис. 5.27, б) равен:

K₁ = tg a .    (5.28)

      Угловой же коэффициент нейтральной линии, как это следует из (5.27), определяется выражением:

tg j  = K₂  .   (5.29)

      Так как в общем случае I_x № I_y, то условие перпендикулярности прямых, известное из аналитической геометрии, не соблюдается, поскольку K₁ №  . Брус, образно выражаясь, предпочитает изгибаться не в плоскости изгибающего момента, а в некоторой другой плоскости, где жесткость на изгиб будет минимальной.