Сопромат

При z₃ = 4 м   = -30 + 20Ч(4 - 2) = 10 кН;

                   = -10 + 30 (4 - 1) - 0,5Ч20Ч(4 - 2)² = 40 кНЧм.

      Так как, поперечная сила в пределах участка меняет знак, т.е. имеет промежуточное нулевое значение (рис. 5.8, в), то в этом сечении возникает экстремальное значение изгибающего момента. Для определения его величины вначале найдем значение z₀ , при котором = 0. Для этого, приравняв выражение для нулю, получим:

-P + q (z₀ - 2) = 0,     м.

      Подставив найденное значение z₀ = 3,5 м в аналитическое выражение изменения , вычислим величину M_max:

кНЧм.

Построение эпюр Q_y и M_x для всей балки

      Отложив перпендикулярно к оси абсцисс (линии, параллельной оси балки) в удобном для пользования масштабе вычисленные значения Q_y и M_x в характерных и промежуточных сечениях каждого участка и соединяя концы полученных ординат линиями, соответствующими законам изменения Q_y и M_x на каждом участке, построим эпюры Q_y и M_x для всей балки (рис. 5.8, в, г). При этом положительные ординаты эпюры Q_y откладываются вверх, а отрицательные - вниз по оси абсцисс. Ординаты же эпюр M_x откладываются со стороны растянутого волокна. На эпюрах Q_y обязательно указываются знаки, а на эпюре M_x знаки можно не ставить.

Проверка правильности построения эпюр Q_y и M_x

Рис. 5.12

      Для этого необходимо вначале проверить соответствие эпюры Q_y эпюре M_x согласно дифференциальной зависимости , из которой следует, что эпюра Q_y представляет собой эпюру тангенсов угла наклона касательных эпюры M_x к оси балки. В самом деле, на участке II балки (рис. 5.8, г) тангенс угла наклона касательной эпюры M_x к оси балки (рис. 5.12) равен:

      При этом, знак поперечной силы будет положительным, если угол образован вращением оси балки или элемента системы по ходу часовой стрелки, и отрицательным, если угол образован вращением этой оси против часовой стрелки до совмещения с эпюрой M_x .

      В рассматриваемом примере угол a образован вращением оси балки против часовой стрелки, поэтому поперечная сила на этом участке будет отрицательной. После указанной проверки полезно также проверить выполнение следующих положений:

      1. Эпюра M_x на участке между сосредоточенными силами, а также между сосредоточенными силой и моментом, и между началом или концом действия равномерно распределенной нагрузки и сосредоточенными силой и моментом всегда изменяется по закону прямой линии, наклонной к оси элемента, а в пределах действия равномерно распределенной нагрузки по закону квадратной параболы, имеющей выпуклость в сторону ее действия, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;

      2. Под точкой приложения сосредоточенной силы эпюра M_x имеет излом, острие которого направлено в сторону действия силы, если эпюра построена со стороны растянутого волокна;

      3. На эпюре M_x в месте действия сосредоточенного момента m имеет место скачок, равный его величине;

      4. Над шарнирными опорами двухшарнирной балки изгибающий момент может быть только в тех случаях, когда в опорных сечениях приложены сосредоточенные моменты или когда на консолях, расположенных за опорами, приложены нагрузки. Во всех других случаях изгибающие моменты в шарнирах равны нулю;

      5. На участке действия равномерно распределенной нагрузки изгибающий момент достигает экстремального значения M_x = 
= M_max в том сечении, где поперечная сила , т.е. переходит через нуль, меняя знак;

      6. Поперечная сила Q_y на участке равна нулю, если во всех сечениях по длине этого участка M_x = const;

      7. Эпюра Q_y постоянна на участках между сосредоточенными нагрузками и изменяется по закону наклонной прямой лишь на участках, где действует равномерно распределенная нагрузка;

      8. Эпюра Q_y в точках приложения сосредоточенных вертикальных сил (Р, R_A , R_B) имеет скачки, равные по величине приложенным в этих сечениях сосредоточенным силам, причем направление скачков всегда совпадает с направлением этих сил.

      В нашем примере все эти положения выполняются.

      2.1. Руководствуясь эпюрой M_x, показать приблизительный вид изогнутой оси балки. При построении приблизительного вида изогнутой оси балки по эпюре M_x необходимо знать, что знак изгибающего момента связан с характером деформации балки от действия заданной внешней нагрузки. Если на участке балки изгибающий момент положителен, то балка на этом участке изгибается выпуклостью вниз, а если отрицателен - выпуклостью вверх. В тех же сечениях, где изгибающий момент равен нулю, кривизна балки меняет свой знак, т.е. ось балки в этих сечениях имеет точки перегиба. При этом всегда следует помнить, что прогибы балки на опорах равны нулю.

      Анализируя эпюру M_x (рис. 5.8, г), видим, что на участке АО растянуты нижние волокна, значит, на этом участке изогнутая ось балки будет иметь выпуклость вниз. На участке ОД растянуты верхние волокна, поэтому изогнутая ось балки на этом участке будет иметь выпуклость вверх. Таким образом, под точкой О, где M_x = 0, кривизна изогнутой оси балки меняет знак, т.е. упругая линия имеет в этом сечении точку перегиба. Учитывая это, строим приблизительный вид изогнутой оси балки (рис. 5.8, д).

      2.2. Подбор поперечного сечения балки. Опасным сечением является то, в котором возникает наибольший по абсолютной величине изгибающий момент. В нашем примере опасным является сечение Е, где M_max = 42,5 кНЧм. Прямоугольное сечение балки из клееной древесины подбираем из условия прочности при расчетном сопротивлении R_H = 16Ч10³ кН/м² и соотношения h/b = 1,5:

откуда требуемый момент сопротивления сечения балки при изгибе будет равен:

      Момент сопротивления прямоугольного сечения равен:

      Приравняв его , получим = 
= 0,288 м, тогда:

Округляя, принимаем брус поперечным сечением hґb = 0,29ґ ґ0,19 м², (W_x = 2,663Ч10^-3м³).

5.4.2. Схема II. Двухопорная балка (задача № 7)

      1. Построить эпюры Q_y и M_x. Существенное отличие этой схемы (рис. 5.13, а) от предыдущего примера расчета (рис. 5.8, а) заключается в том, что при рассмотрении однопролетной консольной балки, для определения внутренних силовых факторов с применением метода сечений, мы последовательно рассматривали равновесие той части системы, где отсутствовало опорное сечение. Данное обстоятельство позволило без предварительного определения опорных реакций, вычислить значения внутренних усилий. Так как этот прием, в данном случае, нереализуем, поэтому предварительно необходимо определить полную систему внешних сил, которая включает заданную систему и все опорные реакции.

Определение опорных реакций

      При общем случае нагружения в заданной системе возникают три опорные реакции. Однако, учитывая особенности характера нагружения, т.е. все внешние силы направлены по оси y, поэтому можно утверждать, что горизонтальная опорная реакция в опорном сечении А в данном случае равна нулю. Вертикальные опорные реакции могут быть определены из условий SM_A = 0;  SM_B = 0.

      Необходимым и достаточным условием проверки правильности определения вертикальных опорных реакций является Sy = 0, т.к. это уравнение статики, применительно к рассматриваемой системе, которое содержит все искомые опорные реакции.

      Из SM_A = 0 получим:

SM_A = -РЧ1 + qЧ5Ч4,5 - m - R_BЧ6 = 0,

откуда

      Из уравнения SM_B = 0 будем иметь:

SM_B = -PЧ7 - m - qЧ5Ч1,5 + R_A Ч6 =0;       R_A = 40 кН_.

      Опорные реакции R_A и R_B получились положительными. Это означает, что выбранные направления совпадают с их действительными направлениями. После определения опорных реакций следует провести проверку правильности их вычисления.